Страница 15 из 90
Спектрально-двойные звёзды
Спектра'льно-двойные звёзды, двойные звёзды, компоненты которых столь близки между собой, что не видны порознь даже в самые сильные телескопы. Двойственность таких звёзд обнаруживается только по периодическим смещениям либо раздвоениям линий в их спектрах вследствие Доплера эффекта, происходящего вследствие орбитального движения компонентов.
Спектральное разложение (линейная алгебра)
Спектра'льное разложе'ние функции, разложение функции в ряд по собственным функциям некоторого линейного оператора (например, конечно-разностного, дифференциального или интегрального), действующего в функциональном пространстве, или одно из возможных обобщений такого разложения. Частным случаем С. р. является разложение функции, заданной на конечном отрезке, в Фурье ряд (т. е. гармонический анализ колебаний), а также разложения по другим известным полным системам функций. В случае линейного оператора А, имеющего непрерывный спектр, собственные функции, понимаемые в обычном смысле, не существуют; тем не менее и здесь весьма часто удаётся определить эти функции (но только они уже не будут являться элементами того функционального пространства, в котором действует оператор А) и задать С. р. широкого класса функций как разложение в интеграл по системе функций, зависящей от непрерывно изменяющегося аргумента (пример С. р. этого типа — разложение в Фурье интеграл). Для несамосопряжённых операторов А наряду с собственными функциями приходится рассматривать ещё и цепочки функций, присоединённых к собственным функциям; однако и для таких операторов в функциональных пространствах во многих случаях удаётся доказать теорему о полноте системы всех собственных и присоединённых функций и, исходя отсюда, получить С. р. широкого класса функций по всевозможным собственным и присоединённым функциям оператора А.
С. р. функций широко используются для решения различных конечно-разностных, дифференциальных и интегральных уравнений и находят многочисленные приложения в задачах классической механики (особенно теории колебаний), электродинамики, квантовой механики, теории связи, теории автоматического управления и других разделах математической физики и прикладной математики.
Лит.: Березанский Ю. М., Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов, К., 1965; Титчмарш Э. Ч., Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка, пер. с англ., т. 1—2, М., 1960—61; Наймарк М. А., Линейные дифференциальные операторы, 2 изд., М., 1969; Левитан Б. М., Capгсян И. С., Введение в спектральную теорию (самосопряженные обыкновенные дифференциальные операторы), М., 1970.
А. М. Яглом.
Спектральное разложение (математич.)
Спектра'льное разложе'ние линейного оператора, представление линейного оператора А в виде линейной комбинации операторов проектирования на взаимно перпендикулярные оси или (более общо) в виде специального интеграла, содержащего под знаком интегрирования семейство операторов проектирования, удовлетворяющее определённым условиям (так называемое разложение единицы, отвечающее оператору А). Изучение С. р. и их возможных обобщений для различных типов линейных операторов составляет основное содержание спектрального анализа линейных операторов.
Спектральное разложение (случайной функции)
Спектра'льное разложе'ние случайной функции, разложение случайной функции (в частности, случайного процесса) в ряд или интеграл по той или иной специальной системе функций такое, что коэффициенты этого разложения представляют собой взаимно некоррелированные случайные величины. Наиболее известный класс С. р. случайных функций — представления стационарных случайных процессов Х (t) в виде интеграла Фурье — Стилтьеса
,
где Z(l) — случайная функция с некоррелированными приращениями. Существование такого С. р. показывает, что стационарный случайный процесс всегда можно рассматривать как наложение некоррелированных друг с другом гармонических колебаний различных частот со случайными фазами и амплитудами. С. р. аналогичного вида, но с заменой гармонических колебаний n-мерными плоскими волнами, имеет место и для однородных случайных полей в n-мерном пространстве. Другой тип С. р. случайных функций — это разложение случайного процесса X(t), заданного на конечном отрезке оси (или, более общо, случайной функции X(t), заданной на ограниченной области n-мерного пространства), в ряд вида
,
где jk(t) и lk — собственные функции и собственные значения интегрального оператора в функциональном пространстве с ядром, равным корреляционной функции случайного процесса (или функции) X(t), a Zk, k = 1, 2,..., — последовательность попарно некоррелированных случайных величин единичной дисперсии. С. р. специального вида имеют место также для однородных и изотропных случайных полей в евклидовых пространствах и для однородных полей на пространствах с группой преобразований, отличных от евклидова пространства.
Лит.: Яглом А. М., Спектральные представления для различных классов случайных функций, в кн.; Труды 4-го Всесоюзного математического съезда, т. 1, Л., 1963, с. 250—73: Гихман И. И., Скороход А. В., Теория случайных процессов, т.1, М., 1971.
А. М. Яглом.
Спектральные линии
Спектра'льные ли'нии, узкие участки в спектрах оптических, каждый из которых можно охарактеризовать определённой длиной волны l (или частотой , где с — скорость света). С. л.
наблюдаются в спектрах испускания как светлые (цветные) линии на тёмном фоне, в спектрах поглощения — как тёмные линии на светлом фоне (см. рис). Каждая С. л. соответствует определённому квантовому переходу в атоме (молекуле, кристалле). С. л. не являются строго монохроматичными: каждая С. л. имеет некоторую ширину Dl (см. Ширина спектральных линий).