Страница 11 из 15
Пользуясь этим свойством, можно, отправляясь от известных коэффициентов для (а + b)1, получить путём сложения биномиальные коэффициенты для любого n. Выкладки располагают в виде таблицы (см. Арифметический треугольник).
Формула Н. б. для целых положительных показателей была известна задолго до И. Ньютона; но им была указана (1676) возможность распространения этого разложения и на случай дробного или отрицательного показателя (хотя строгое обоснование этого было дано лишь Н. Абелем, 1826). В этом более общем случае формула Н. б. начинается так же, как формула (1); коэффициентом при an-kbk служит выражение , которое, в случае целого положительного п, обращается в нуль при всяком k > п, вследствие чего формула (1) содержит лишь конечное число членов. В случае же дробного или отрицательного n все биномиальные коэффициенты отличны от нуля, и правая часть формулы содержит бесконечный ряд членов (биномиальный ряд). Если êbê < êаê, то этот ряд сходится, т. е., взяв достаточно большое число его членов, можно получить величину, сколь угодно близкую к (а + b) n (см. Ряд). Формула Н. б. играет важную роль во многих областях математики (алгебре, теории чисел и др.).
Ньютона закон тяготения
Нью'тона зако'н тяготе'ния, закон всемирного тяготения, один из универсальных законов природы; согласно Н. з. т. все материальные тела притягивают друг друга, причём величина силы тяготения не зависит от физических и химических свойств тел, от состояния их движения, от свойств среды, где находятся тела. На Земле тяготение проявляется прежде всего в существовании силы тяжести, являющейся результатом притяжения всякого материального тела Землёй. С этим связан термин «гравитация» (от лат. gravitas — тяжесть), эквивалентный термину «тяготение».
Н. з. т., открытый в 17 в. И. Ньютоном, формулируется следующим образом. Каждые две материальные частицы притягивают друг друга с силой F, прямо пропорциональной их массам m1 и m2 и обратно пропорциональной квадрату расстояния r между ними:
; (1)
сила F направлена вдоль прямой, соединяющей эти частицы. Коэффициент пропорциональности G — постоянная величина, наз. гравитационной постоянной в системе СГС G » 6,7·10-8 дин×см×г-2. Под «частицами» здесь подразумеваются тела, размеры которых пренебрежимо малы по сравнению с расстояниями между ними, т. е. материальные точки. Н. з. т. можно интерпретировать иначе, полагая, что каждая материальная точка с массой m1 создаёт вокруг себя поле тяготения (гравитационное поле), в котором любая другая свободная материальная точка, находящаяся на расстоянии r от центра поля, приобретает ускорение, не зависящее от своей массы, равное
(2)
и направленное к центру поля.
Силы тяготения (и гравитационные поля) отдельных интегральных частиц обладают свойством аддитивности, т. е. сила, действующая на некоторую частицу со стороны нескольких др. частиц, равна геометрической сумме сил, действующих со стороны каждой частицы. Из этого следует, что тяготение между реальными материальными телами, с учётом их размеров, формы и распределения плотности вещества, можно определить, вычислив сумму сил тяготения (учитывающую направление составляющих сил) отдельных малых частиц, на которые можно мысленно разбить тела. Таким путём установлено, что шарообразное тело (однородное или со сферическим распределением плотности вещества) притягивает точно так же, как материальная точка, если расстояние r измеряется от центра шара.
В основном силы тяготения определяют характер движения небесных тел в космическом пространстве. Именно при изучении движения планет и их спутников был открыт Н. з. т. и впоследствии строго обоснован. В начале 17 в. И. Кеплером были установлены эмпирическим путём основные закономерности движения планет (Кеплера законы). Исходя из них, современники Ньютона (французский астроном И. Бульо, итальянский физик Дж. Борелли, английский физик Р. Гук) высказывали соображения, что движение планет может быть объяснено действием силы, которая притягивает каждую планету к Солнцу и которая убывает пропорционально квадрату расстояния от Солнца. Однако только Ньютон в «Математических началах натуральной философии» (1687) впервые это строго доказал, опираясь на свои первые два закона механики (см. Ньютона законы механики) и на созданные им новые математические методы, составившие основу дифференциального и интегрального исчисления. Ньютон доказал, что движение каждой планеты должно подчиняться первым двум законам Кеплера именно в том случае, если они движутся под действием силы тяготения Солнца в соответствии с формулой (1). Далее Ньютон показал, что движение Луны может быть приближённо объяснено с помощью аналогичного силового поля Земли и что сила тяжести на Земле есть результат воздействия этого же силового поля на материальные тела вблизи поверхности Земли. На основании 3-го закона механики Ньютон заключил, что притяжение есть взаимное свойство, и пришёл к формулировке своего закона тяготения для любых материальных частиц. Выведенный по эмпирическим данным, на основании результатов наблюдений, с неизбежностью приближённых, Н. з. т. представлял собой вначале рабочую гипотезу. В дальнейшем потребовалась колоссальная работа в течение более чем двухсот лет для строгого обоснования этого закона.
Н. з. т. явился основой небесной механики. В течение 17—19 вв. одной из основных задач небесной механики было доказательство того, что гравитационное взаимодействие по закону Ньютона точно объясняет наблюдаемые движения небесных тел в Солнечной системе. Сам Ньютон показал, что взаимное притяжение между Землёй, Луной и Солнцем объясняет довольно точно ряд наблюдавшихся с давних пор особенностей в движении Луны (т. н. вариации, движение узлов, движение перигея, колебания наклона лунной орбиты), что Земля из-за своего вращения и вследствие действия сил тяготения между частицами вещества Земли должна быть сплюснута у полюсов; действием сил тяготения Ньютон объяснил также и явление прецессии земной оси, приливы и отливы и т.д. Одним из наиболее ярких в истории астрономии подтверждений справедливости Н. з. т. явилось открытие в 1845—46 планеты Нептун — результат предварительных теоретических расчётов, предсказавших положение планеты. Современные теории движения Земли, Луны и планет, основанные на Н. з. т., отражают наблюдаемые движения этих тел во всех деталях, за исключением нескольких эффектов (движения перигелиев Меркурия, Венеры, Марса), которые находят своё объяснение в релятивистской небесной механике, основанной на теории тяготения Эйнштейна (см. Тяготение).
Гравитационное взаимодействие в соответствии с Н. з. т. играет главную роль в движении звёздных систем типа двойных и кратных звёзд, внутри звёздных скоплений и галактик. Однако гравитационные поля внутри звёздных скоплений и галактик имеют очень сложный характер, изучены ещё недостаточно, вследствие чего движения внутри них изучают методами, отличными от методов небесной механики (см. Звёздная астрономия). Гравитационное взаимодействие играет также существенную роль во всех космических процессах, в которых участвуют скопления больших масс вещества. Н. з. т. является основой при изучении движения искусственных небесных тел, в частности искусственных спутников Земли и Луны, космических зондов. На Н. з. т. опирается гравиметрия. Силы притяжения между обычными макроскопическими материальными телами на Земле могут быть обнаружены и измерены, но не играют сколько-нибудь заметной практической роли. В микромире силы притяжения ничтожно малы по сравнению с внутримолекулярными и внутриядерными силами.