Страница 5 из 91
Содержание геометрии Лобачевского. Лобачевский строил свою геометрию, отправляясь от основных геометрических понятий и своей аксиомы, и доказывал теоремы геометрическим методом, подобно тому, как это делается в геометрии Евклида. Основой служила теория параллельных линий, т. к. именно здесь начинается отличие Л. г. от геометрии Евклида. Все теоремы, не зависящие от аксиомы о параллельных, общи обеим геометриям и образуют т. н. абсолютную геометрию, к которой относятся, например, теоремы о равенстве треугольников. Вслед за теорией параллельных строились др. отделы, включая тригонометрию и начала аналитической и дифференциальной геометрии. Приведём несколько фактов Л. г., отличающих её от геометрии Евклида и установленных самим Лобачевским.
1) В Л. г. не существует подобных, но неравных треугольников; треугольники равны, если их углы равны. Поэтому существует абсолютная единица длины, т. е. отрезок, выделенный по своим свойствам, подобно тому как прямой угол выделен своими свойствами. Таким отрезком может служить, например, сторона правильного треугольника с данной суммой углов.
2) Сумма углов всякого треугольника меньше p и может быть сколь угодно близкой к нулю. Это непосредственно видно на модели Пуанкаре. Разность p — (a + b + g), где a, b, g — углы треугольника, пропорциональна его площади.
3) Через точку О, не лежащую на данной прямой а, проходит бесконечно много прямых, не пересекающих а и находящихся с ней в одной плоскости; среди них есть две крайние b, b', которые и называются параллельными прямой а в смысле Лобачевского. В моделях Клейна (Пуанкаре) они изображаются хордами (дугами окружностей), имеющими с хордой (дугой) а общий конец (который по определению модели исключается, так что эти прямые не имеют общих точек) (рис. 1,3). Угол ее между прямой b (или b') и перпендикуляром из О на а — т. н. угол параллельности — по мере удаления точки О от прямой убывает от 90° до 0° (в модели Пуанкаре углы в обычном смысле совпадают с углами в смысле Лобачевского, и потому на ней этот факт можно видеть непосредственно). Параллель b с одной стороны (а b' с противоположной) асимптотически приближается к а, а с другой — бесконечно от неё удаляется (в моделях расстояния определяются сложно, и потому этот факт непосредственно не виден).
4) Если прямые имеют общий перпендикуляр, то они бесконечно расходятся в обе стороны от него. К любой из них можно восстановить перпендикуляры, которые не достигают другой прямой.
5) Линия равных расстояний от прямой не есть прямая, а особая кривая, называемая эквидистантой, или гиперциклом.
6) Предел окружностей бесконечно увеличивающегося радиуса не есть прямая, а особая кривая, называемая предельной окружностью, или орициклом.
7) Предел сфер бесконечно увеличивающегося радиуса не есть плоскость, а особая поверхность — предельная сфера, или орисфера; замечательно, что на ней имеет место евклидова геометрия. Это служило Лобачевскому основой для вывода формул тригонометрии.
8) Длина окружности не пропорциональна радиусу, а растет быстрее.
9) Чем меньше область в пространстве или на плоскости Лобачевского, тем меньше геометрические соотношения в этой области отличаются от соотношений евклидовой геометрии. Можно сказать, что в бесконечно малой области имеет место евклидова геометрия. Например, чем меньше треугольник, тем меньше сумма его углов отличается от p; чем меньше окружность, тем меньше отношение её длины к радиусу отличается от 2p, и т. п. Уменьшение области формально равносильно увеличению единицы длины, поэтому при безграничном увеличении единицы длины формулы Л. г. переходят в формулы евклидовой геометрии. Евклидова геометрия есть в этом смысле «предельный» случай Л. г.
Л. г. продолжает разрабатываться многими геометрами; в ней изучаются: решение задач на построение, многогранники, правильные системы фигур, общая теория кривых и поверхностей и т. п. Ряд геометров развивали также механику в пространстве Лобачевского. Эти исследования не нашли непосредственных применений в механике, но дали начало плодотворным геометрическим идеям. В целом Л. г. является обширной областью исследования, подобно геометрии Евклида.
Приложения геометрии Лобачевского. Сам Лобачевский применил свою геометрию к вычислению определённых интегралов. В теории функций комплексного переменного Л. г. помогла построить теорию автоморфных функций. Связь с Л. г. была здесь отправным пунктом исследований Пуанкаре, который писал, что «неевклидова геометрия есть ключ к решению всей задачи». Л. г. находит применение также в теории чисел, в её геометрических методах, объединённых под названием «геометрия чисел» (см. Чисел теория). Была установлена тесная связь Л. г. с кинематикой специальной (частной) теории относительности (см. Относительности теория). Эта связь основана на том, что равенство, выражающее закон распространения света
x2 + y2 + z2 = c2t2
при делении на t2, т. е. для скорости света, даёт
vx2 + vy2 + vz2 = c2
— уравнение сферы в пространстве с координатами vx, vy, vz — составляющими скорости по осям х, у, z (в «пространстве скоростей»). Лоренца преобразования сохраняют эту сферу и, т. к. они линейны, переводят прямые пространства скоростей в прямые. Следовательно, согласно модели Клейна, в пространстве скоростей внутри сферы радиуса с, т. е. для скоростей, меньших скорости света, имеет место Л. г.
Замечательное приложение Л. г. нашла в общей теории относительности (см. Тяготение). Если считать распределение масс материи во Вселенной равномерным (это приближение в космических масштабах допустимо), то оказывается, что при определённых условиях пространство имеет Л. г. Т. о., предположение Лобачевского о его геометрии как возможной теории реального пространства оправдалось.
Лит.: Лобачевский Н. И., Сочинения по геометрии, М. — Л., 1946—49 (Полн. собр. соч., т. 1—3); Об основаниях геометрии. Сборник классических работ по геометрии Лобачевского и развитию ее идей, М., 1956; Александров П. С., Что такое неевклидова геометрия, М., 1950; Делоне Б. Н., Элементарное доказательство непротиворечивости планиметрии Лобачевского, М., 1956; Широков П. А., Краткий очерк основ геометрии Лобачевского, М., 1955; Каган В. Ф., Лобачевский и его геометрия. Общедоступные очерки, М., 1955; его же, Геометрия Лобачевского и ее предистория, М. — Л., 1949 (Основания геометрии, ч. 1); Ефимов Н. В., Высшая геометрия, 5 изд., М., 1971; Погорелов А. В., Основания геометрии, 3 изд., М., 1968; Розенфельд Б. А., Неевклидовы пространства, М., 1969; Нут Ю. Ю., Геометрия Лобачевского в аналитическом изложении, М., 1961; Андриевская М. Г., Аналитическая геометрия в пространстве Лобачевского, К., 1963.
А. Д. Александров.
Рис. 3 к ст. Лобачевского геометрия.
Рис. 1 к ст. Лобачевского геометрия.
Рис. 2 к ст. Лобачевского геометрия.