Страница 7 из 260
Краевые валы
Краевы'е ва'лы, пологие слаборасчленённые поднятия на окраинах океанических котловин, вытянутых вдоль океанического края глубоководных желобов; то же, что океанические окраинные валы.
Краевые задачи
Краевы'е зада'чи, задачи, в которых из некоторого класса функций, определённых в данной области, требуется найти ту, которая удовлетворяет на границе (крае) этой области заданным условиям. Функции, описывающие конкретные явления природы (физические, химические и др.), как правило, представляют собой решения уравнений математической физики, выведенных из общих законов, которым подчиняются эти явления. Когда рассматриваемые уравнения допускают целые семейства решений, дополнительно задают так называемые краевые или начальные условия, позволяющие однозначно выделить интересующее нас решение. В то время, как краевые условия задаются исключительно на граничных точках области, где ищется решение, начальные условия могут оказаться заданными на определённом множестве точек внутри области. Например, уравнение
(1)
имеет бесконечное множество решений u (x1, х2) = f (x1+x2) + f1(x1-x2), где f и f1 — произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции. Однако в прямоугольнике —а £ x2 £ a, 0 £ x1 £ l, плоскости с прямоугольными декартовыми координатами x1, x2 уравнение (1) имеет единственное решение u (x1, x2), удовлетворяющее краевым
u (0, x2) = 0, u (l, x2) = 0, —а £ x2 £ a, (2)
и начальным
u (x1, 0) = j(x1),
(3)
условиям. При этом дважды непрерывно дифференцируемые функции j и y считаются наперёд заданными. Если переменное x2 есть время t, то решение u (х, t) уравнения (1), удовлетворяющее условиям (2) и (3), описывает колебание упругой струны длины l с концами, закрепленными в точках (0, 0) и (0, l). Изложенная задача нахождения решения уравнения (1) при условиях (2) и (3) — простейший пример так называемой смешанной задачи.
Вообще краевыми называют задачи, в которых в заданной области G пространства независимых переменных (x1,..., xn) = х ищется решение u (х) = u (x1,..., xn) уравнения
Du (x) = 0, x Î G (4)
при требовании, что искомая функция u (х) на границе S области G удовлетворяет краевому (граничному) условию
Bu (у) = 0, y Î S, (5)
где D и В — заданные операторы, причём, как правило, D — дифференциальный или интегро-дифференциальный оператор. Граница S называется носителем краевых данных (5).
Когда операторы D и В линейны, К. з. (4), (5) называется линейной. В предположениях, что S является (n — 1)-мерной гиперповерхностью, D — линейным дифференциальным оператором второго порядка
,
а
,
где Ai, j, Bi, C, F, f — заданные функции, задача (4), (5) называется первой краевой задаей Дирихле. Если же
,
где ai, i = 1,..., n, f — заданные функции, то задача (4), (5) называется задачей наклонной (косой) производной. В частности, когда вектор (a1,..., an) совпадает с конормалью к S, задача наклонной производной носит название второй краевой задачи, или задачи Неймана. Задача Дирихле (Неймана) называется однородной, если
F (x) = 0, f (y) = 0.
Задачи Дирихле и Неймана хорошо исследованы в ограниченных областях с достаточно гладкой границей в случае равномерной эллиптичности оператора D с действительными коэффициентами, т. е. при соблюдении условий
, x Î G S (6)
где l1,..., ln — произвольные действительные параметры, а k и k1 — фиксированные отличные от нуля числа одинакового знака.
При требовании достаточной гладкости коэффициентов операторов D и В и равномерной эллиптичности оператора D справедливы следующие утверждения: 1) число k линейно независимых решений однородной задачи Дирихле (Неймана) конечно; 2) для разрешимости задачи Дирихле (Неймана) необходимо и достаточно, чтобы функции F (x) и f (y) были подчинены дополнительным ограничениям типа условий ортогональности, число которых равно k; 3) при соблюдении условия
С (x) £ 0, x Î G,
задача Дирихле всегда имеет и притом единственное решение; 4) в области G достаточно малого диаметра задача Дирихле всегда имеет и притом единственное решение и 5) при однозначной разрешимости задачи Дирихле (Неймана) малое изменение краевых данных вызывает малое изменение решения (т. е. решение устойчиво).