Страница 5 из 34
bk-2 = nk-1 + bk,
bk-1 = nkbk.
Последний положительный остаток bк в этом процессе и является наибольшим общим делителем чисел а и b. Е. а. служит не только для нахождения наибольшего общего делителя, но и для доказательства его существования. В случае многочленов или отрезков поступают сходным образом. В случае несоизмеримых отрезков (см. Соизмеримые и несоизмеримые величины) Е. а. оказывается бесконечным.
Евклидова геометрия
Евкли'дова геоме'трия, геометрия, систематическое построение которой было впервые дано в 3 в. до н. э. Евклидом. Система аксиом Е. г. опирается на следующие основные понятия: точка, прямая, плоскость, движение и следующие отношения: «точка лежит на прямой на плоскости», «точка лежит между двумя другими». В современном изложении систему аксиом Е. г. разбивают на следующие пять групп.
I. Аксиомы сочетания. 1) Через каждые две точки можно провести прямую и притом только одну. 2) На каждой прямой лежат по крайней мере две точки. Существуют хотя бы три точки, не лежащие на одной прямой. 3) Через каждые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость и притом только одну. 4) На каждой плоскости есть по крайней мере три точки и существуют хотя бы четыре точки, не лежащие в одной плоскости. 5) Если две точки данной прямой лежат на данной плоскости, то и сама прямая лежит на этой плоскости. 6) Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют ещё одну общую точку (и, следовательно, общую прямую).
II. Аксиомы порядка. 1) Если точка В лежит между А и С, то все три лежат на одной прямой. 2) Для каждых точек А, В существует такая точка С, что В лежит между А и С. 3) Из трёх точек прямой только одна лежит между двумя другими. 4) Если прямая пересекает одну сторону треугольника, то она пересекает ещё другую его сторону или проходит через вершину (отрезок AB определяется как множество точек, лежащих между А и В; соответственно определяются стороны треугольника).
III. Аксиомы движения. 1) Движение ставит в соответствие точкам точки, прямым прямые, плоскостям плоскости, сохраняя принадлежность точек прямым и плоскостям. 2) Два последовательных движения дают опять движение, и для всякого движения есть обратное. 3) Если даны точки А, A' и полуплоскости A, A‘, ограниченные продолженными полупрямыми а, а', которые исходят из точек А, A', то существует движение, и притом единственное, переводящее А, а, A в A', a', A' (полупрямая и полуплоскость легко определяются на основе понятий сочетания и порядка).
IV. Аксиомы непрерывности. 1) Аксиома Архимеда: всякий отрезок можно перекрыть любым отрезком, откладывая его на первом достаточное число раз (откладывание отрезка осуществляется движением). 2) Аксиома Кантора: если дана последовательность отрезков, вложенных один в другой, то все они имеют хотя бы одну общую точку.
V. Аксиома параллельности Евклида. Через точку А вне прямой а в плоскости, проходящей через А и а, можно провести лишь одну прямую, не пересекающую а.
Возникновение Е. г. тесно связано с наглядными представлениями об окружающем нас мире (прямые линии — натянутые нити, лучи света и т. п.). Длительный процесс углубления наших представлений привёл к более абстрактному пониманию геометрии. Открытие Н. И. Лобачевским геометрии, отличной от Е. г., показало, что наши представления о пространстве не являются априорными. Иными словами, Е. г. не может претендовать на роль единственной геометрии, описывающей свойства окружающего нас пространства. Развитие естествознания (главным образом физики и астрономии) показало, что Е. г. описывает структуру окружающего нас пространства лишь с определённой степенью точности и не пригодна для описания свойств пространства, связанных с перемещениями тел со скоростями, близкими к световой. Т. о., Е. г. может рассматриваться как первое приближение для описания структуры реального физического пространства. См. Пространство, Геометрия, Лобачевского геометрия. Неевклидовы геометрии.
Э. Г. Позняк.
Евклидово пространство
Евкли'дово простра'нство (в математике), пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В более общем смысле Е. п. называется n-мepное векторное пространство, в котором возможно ввести некоторые специальные координаты (декартовы) так, что метрика его будет определена следующим образом: если точка М имеет координаты (х1, х2,..., xn), а точка М* — координаты (x1*, x2*,..., xn*), то расстояние между этими точками
См. Пространство, Многомерное пространство.
Евлах
Евла'х, город (до 1938 — посёлок) в Азербайджанской ССР. Пристань на р. Кура. Ж.-д. станция на линии Тбилиси-Баку, от Е. построена железная дорога на Агдам; узел шоссейных дорог. 29 тыс. жителей (1970). Крупные хлопкоочистительные и табачно-ферментационные заводы, молочный завод, элеватор (при нём комбикормовый завод), производство стройматериалов.
Евлашево
Евла'шево, посёлок городского типа в Кузнецком районе Пензенской области РСФСР. Ж.-д. станция в 16 км к В. от Кузнецка. Деревообрабатывающий комбинат; мясомолочный совхоз.
Евле
Е'вле (Gävle), город в Швеции, на побережье Ботнического залива. Административный центр лена Евлеборг. 73 тыс. жителей (1970). Крупный центр лесопильной и целлюлозно-бумажной промышленности. Радиотехнический и машиностроительный заводы. Ж.-д. узел, порт (вывоз лесоматериалов, целлюлозы, бумаги, чёрных металлов — из Бергслагена).
Евмел
Е'вмел (греческое Éumelos), царь Боспорского государства в 310—304 до н. э. Захватил трон в результате борьбы со старшими братьями. При Е. к Боспору была присоединена часть соседних земель. Содействовал развитию торговли, особенно с Южным Причерноморьем; успешно вёл борьбу с пиратами на Чёрном море.
Лит.: Гайдукевич В. Ф., Боспорское царство, М.—Л., 1949, с. 73—75.