Страница 9 из 284
Древний александрийский математик Евклид был пионером аксиоматического метода, определив пять знаменитых «постулатов», или аксиом, в начале своих «Начал» – пожалуй, самой известной математической книги всех времен, которая и в 1900 году оставалась главным учебником геометрии. Но годом ранее Гильберт ввел в предмет новый, расширенный набор постулатов. Он сгруппировал их по темам: геометрическая непрерывность, принадлежность, конгруэнтность и порядок. Не увязая в деталях, достаточно сказать, что с выдающейся креативностью и впечатляющей строгостью он блестяще переработал геометрию – науку с 2000-летней историей.
Все по-настоящему впечатлены. Как пишет биограф Гильберта Констанс Рид, в одной американской рецензии на его книгу 1899 года сказано, что она «сделает многое для логического обоснования всей науки и для ясности мышления в целом». Книга мгновенно становится математическим бестселлером. «Основания» осыпают комплиментами. Их называют жемчужиной. Драгоценностью. Интеллектуальным шедевром. Современный британский философ Питер Саймонс называет книгу «радикально новаторской».
Чистое искусство!
И вот – в этот жаркий парижский день лета 1900 года – Гильберт здесь. Наконец-то. В воздухе висит жара. Люди проходят в зал. Находят места. Усаживаются. Некоторые промокают лбы платками. Другие стоят вдоль стен. Все ожидают очередного погружения в геометрические дебри. Возможно, он опишет историю создания своих «Оснований геометрии». Возможно, поговорит о чем-то другом. Кто знает? Название лекции простое: «Математические проблемы» (Mathematische Probleme).
Только один человек в мире точно знает, о чем будет говорить Гильберт, – его хороший друг Герман Минковский, еще одна математическая легенда.
Учитель физики у Эйнштейна
Еще подростком Минковский выиграл крайне престижную математическую награду Французской академии наук за работу о сложных функциях, известных как квадратичные формы. В то время вручение вызвало скандал, так как французы присудили премию совместно ему и Генри Джону Стивену Смиту – английскому математику, который был намного старше и авторитетнее. Смит работал над этими квадратичными формами много лет, еще до рождения Минковского, поэтому необходимость делить премию казалась досадной, если не оскорбительной. Учитывая специфику англо-французских отношений в XIX веке, в Академию была подана официальная жалоба, которую там благополучно проигнорировали.
Но еще большую известность Минковский обретет через несколько лет, заслужив уникальный статус учителя физики Альберта Эйнштейна. Впрочем, он и сам по себе гений. Любой, кто касался специальной теории относительности, знает его имя. Математическое описание четырехмерного мира часто называют «пространством-временем Минковского» в честь его вклада. Его видение пространства как четырехмерного «многообразия», включающего время, – это достижение, которое навсегда свяжет Минковского со всеми странными и чудесными результатами специальной теории относительности его ученика. Сокращение длины и замедление времени, при которых воображаемый космический путешественник мог бы полететь со скоростью 99,9 % скорости света к далекой звездной системе и вернуться через несколько лет, обнаружив, что его близнец постарел на десятки лет, – это красивые следствия данной трактовки методами дифференциальных уравнений.
Сегодня, в этот жаркий августовский день 1900 года, Минковский, уже в статусе полного профессора, находится в предвкушении. Несколько недель назад он узнал, о чем его друг Гильберт намерен говорить в Париже. План выступления прост. Вот несколько захватывающих проблем, говорит Гильберт. Теперь решите их! Услышав об этом, Минковский был просто ошарашен Гильбертом. Он в восторге. «Это сделает тебя знаменитым, – уверяет он Гильберта. – Это будет лекция, которую все ждали, даже не подозревая об этом». «О твоем выступлении будут говорить десятилетиями», – сказал ему Минковский перед началом.
«Математические проблемы» в названии доклада – это не то, что Гильберт или кто-то другой недавно решил. Речь пойдет не об
уже
сделанном, а о том, что
предстоит
сделать. Не просто о задачах, а о
масштабных
задачах – о дилеммах, которые терзали математиков годами. Об узлах, что сковывали науку десятилетиями, а то и веками. О каверзных математических казусах, которые отчаянно требуют разрешения. Он будет говорить о трудных проблемах – и чем труднее, тем лучше. «Математическая проблема должна быть трудной», – заявляет Гильберт с трибуны.
Позже журнал
Nature
напишет, что он выбрал эти проблемы, потому что они «бросают вызов» и позволяют заглянуть в математическое будущее. Решение этих задач, пишет
Nature
, «вероятнее всего, принесет огромную пользу», двигая науку вперед.
И Минковский прав, предсказывая успех выступления. Это математическое событие года. Десятилетия. Века – девятнадцатого, двадцатого, двадцать первого или всех трех сразу. Возможно, это лучший доклад тысячелетия. Позже некоторые назовут его самым важным выступлением математика во всей мировой истории. Он поражает десятки людей в зале и восхищает миллионы тех, кто прочтет о нем после. Любой, кому посчастливилось присутствовать там, запомнит это на всю жизнь. Это триумф, ломающий стереотипы, переворачивающий сознание и определяющий будущее, – триумф, бьющий наповал.
Двадцать три проблемы
Многие по сей день считают эту лекцию одним из величайших достижений Гильберта – удивительное утверждение, если учесть, сколько важных оригинальных идей он внесет в математику в грядущие десятилетия. Его именем названы десятки концепций, используемых сегодня: гильбертовы пространства, неравенства Гильберта, преобразования Гильберта, инвариантные интегралы Гильберта, теорема Гильберта о неприводимости, аксиомы Гильберта, гильбертовы поля классов и многое другое.
За следующие 30 лет у Гильберта защитятся около 40 докторантов. Для многих из них он останется самым великим математиком в их жизни. Взять хотя бы немецкого физика Макса фон Лауэ. Он ставил гений Гильберта выше своего собственного, хотя сам в 1914 году получил Нобелевскую премию за открытие дифракции рентгеновских лучей в кристаллах. Это открытие породило структурную биологию и химию и легло в основу современных методов создания лекарств. Но при всем своем блеске и успехе фон Лауэ признавал истинным гением именно Гильберта. «В моей памяти он остался, пожалуй, величайшим гением, которого мне довелось лицезреть», – говорил он.