Страница 258 из 284
Отчасти причина того, что Великая математическая война забыта, кроется в том, что она кажется неважной, несмотря на ее странные итоги. Это почти уникальный случай в истории науки, когда фундаментальный раскол между мировоззрениями разрешается не появлением победителей и проигравших, а шахматной «ничьей по Цермело» и прекращением борьбы. Ни одно учение не одержало верх; логицизм, формализм и интуиционизм остаются одинаково состоятельными как подходы к математике и столь же несостоятельными в решении вопроса о ее глубинных основаниях. «Они дополняют друг друга и могут мирно сосуществовать», – пишет испанский математик Хосе Феррейрос. Везувий потух. Колизей закрыт. Марафон отменен.
Но в том, что победитель так и не был найден, есть свой триумф. Главным итогом Великой математической войны стало освобождение. После 1938 года математики получили карт-бланш: использовать элементы логицизма, формализма или интуиционизма когда угодно и сколько угодно, не заботясь об «основаниях». Хочешь – будь формалистом. Желаешь – будь логицистом. А если уж приспичит – будь интуиционистом. При всех различиях между этими тремя обособленными лагерями, после 1938 года они больше никогда по-настоящему не враждовали и не конкурировали друг с другом.
«Мы как никогда далеки от уверенности в окончательных основаниях (логики и) математики», – напишет Вейль в 1946-м. «И все же, – добавит он, – это как будто никак не мешает нашей повседневной работе».
Кто-то может просто сказать, что в кризисе оснований есть чем восхищаться из-за его внутренней строгости. Из-за математической чистоты идей. Из-за того факта, что логицисты, формалисты и интуиционисты штурмуют Эверест с разных склонов. Но то, как они добираются до вершины, – не главное. Ценность
Grundlagenkrise
заключалась не в пути, а в пункте назначения. Спор принес неожиданные, но драгоценные плоды. Результаты. Новые открытия.
Потому что она… где?
В истории науки есть что-то от фарса, поскольку даже когда мы не правы, мы часто совершаем великие прорывы по самым нелепым причинам. Скромный английский священник по имени Эдвард Стоун выделил аспирин из коры ивы, потому что ошибочно полагал, будто это растение обладает скрытой сущностью, позволяющей ему процветать во влажной, сырой среде – точно так же, как и легочные инфекции (хотя он не мыслил категориями инфекций, так как в его время микробиологии как науки еще не существовало). И все же это удивительное открытие и медицинская революция, основанная на идиотском, неверном понимании механизма.
Аргументы в пользу финансирования фундаментальной науки часто связаны именно с такими непредвиденными последствиями. Микропроцессор и GPS изначально разрабатывались для космической программы «Аполлон». РНК-вакцины, созданные для борьбы со вспышками Эболы, были адаптированы для COVID-19. Адаптивная оптика, созданная для слежки за советскими спутниками, нашла применение в наземных телескопах для устранения искажений при поиске далеких экзопланет. Тим Бернерс-Ли изобрел Всемирную паутину в ЦЕРНе в Швейцарии для узкой задачи – обмена огромными массивами данных в экспериментах по физике элементарных частиц. С формализмом и логицизмом случилась та же история: целились в одно, а попали в другое.
«Подобно тому как Колумб отплыл в Индию, а нашел другие, неожиданные – но не менее богатые и захватывающие – земли, – писал недавно Паоло Манкосу, – так и путешествие разума, логики и оснований математики привело к удивительным находкам, которые кардинально изменили первоначальные цели».
* * *
Логицизм, направленный Гёделем через русло теорем о неполноте, приносит неожиданные дивиденды в компьютерных науках, теории моделей, алгоритмах, теориях рекурсии и вычислимости. Он открывает путь в золотой век логики – с 1930 по 1970 год, когда экономика, политология, прикладная математика, клиническая медицина и компьютерная инженерия стремительно развиваются благодаря алгоритмам.
Формализм, несмотря на провал попытки укрепить основания математики, в конечном итоге тоже оказывается невероятно успешным. Теория доказательств теперь – не просто важный инструмент, а фундаментальная предпосылка современной математики. Базовый подход Гильберта, «несмотря на неудачу», писал Феррейрос несколько лет назад, «утвердился на практике как признанная идеология математики XX века».
Что же эти ошеломляющие успехи формализма и логицизма, подобные возрождению феникса из пепла, означают для интуиционизма? Как воспринимать сокрушительное фиаско этого учения, над которым так злорадствовал Пойа, забирая выигрыш у Вейля? Выходит, Брауэр – главный неудачник? Вовсе нет.
Нет сомнений, что Пойа выиграл пари у Вейля. Еще до Гёделя и его теорем о неполноте интуиционизм впал в немилость. К концу 1920-х математики в массе своей отвергли его, отказавшись от тезиса Брауэра о том, что для математики важны лишь ограничительные конструктивистские методы. «Математическое сообщество, – пишет Эрнст Снэппер в 1979 году, – почти единогласно отвергло интуиционизм».
Но идеи конструктивистской математики Брауэра сегодня, возможно, ждет возрождение и переосмысление. Математика может быть базовым чувством, вроде способности отличать соленое от сладкого. Я называю это «первичной человеческой способностью». Способность считать, анализировать закономерности и манипулировать данными для принятия решений может быть врожденной, пусть и сформировавшейся в процессе развития, частью человеческого познания – частью нашего базового когнитивного инструментария, который эволюционировал у нашего вида со временем. Математика могла на самом деле предшествовать языку в человеческой эволюции, и, возможно, именно наши математические способности позволили нам вообще развить язык. Базовые количественные навыки и абстрактное представление могли дать нашим предкам огромные преимущества в выживании, позволив им пересчитывать «зимние ужины – по одному на холм», как однажды выразился Роберт Фрост.
Брауэр верил в это. И Гильберт также был убежден, что дело обстоит именно так. Он всегда рассматривал математику как фундаментальную часть нашего базового устройства, написав в 1913 году: «Аксиоматический метод не нов, но глубоко укоренен в человеческом мышлении». (Дело не в том, что мир математичен, как любил говорить один из моих профессоров в колледже, – дело в том, что математичны
мы сами.
)
Рыба не может не плавать