Страница 189 из 284
Независимо от других Вейль пришел к той же точке зрения, что и Брауэр: одна лишь логика не способна стать фундаментом математики. Его отход от мировоззрения Рассела был основан на логическом определении вещественных чисел, которое Рассел и Уайтхед дают в «Основаниях математики». Вейль усмотрел, что определение вещественных чисел полностью зависит от их природы. Но в логицизме определение само частично отвечает за формирование этого определения (благодаря нашему старому доброму другу – порочному кругу). Природа вещественных чисел такова, как мы их определяем, говорят Рассел и Уайтхед. Это определение определяет их природу. А из этой природы мы выводим наше определение. И так мы ходим по порочному кругу.
Вейль отвергает этот абсурд, и в этом вопросе они с Брауэром полностью сходятся. Это важно, потому что Вейль – лучший союзник, которого могли бы пожелать и Брауэр, и Гильберт. У Вейля природный дар к популяризации. Он – настоящая стихия как коммуникатор: красноречив на нескольких языках, смел и гениален. Он обладает изящным, даже поэтичным стилем письма – и именно на этот стиль, по крайней мере поначалу, делает ставку Брауэр, собираясь в течение следующего десятилетия переписать правила математики на свой интуиционистский лад. Слава богу, есть Вейль, думает он, ведь теперь ему не придется делать это в одиночку. И, по крайней мере поначалу, он не разочарован.
Вернувшись в Цюрих после недолгого пребывания в немецкой армии, Вейль внимательно изучает работы Брауэра. Он также пишет крошечную книгу под названием
, где исследует идеи Пуанкаре и Рассела об основаниях математики. Некоторые обвиняли его в том, что в этой брошюре он «совершил акт поэзии», – настолько красиво он описывает континуум вещественных чисел (то несчетно большое бесконечное множество «алеф-один», которое Георг Кантор исследовал почти полвека назад) и гладкость континуума как некое откровение в постоянстве.
Его оценка оснований математики столь же поэтична, хотя и куда более мрачна. Он говорит, что основания состоят не из коренной породы (или, как в современном строительстве, бетона, залитого поверх стальной арматуры). Математика, считает Вейль, больше похожа на деревянную лачугу, построенную на зыбком песке.
– работа короткая, но трудная; еще одна из тех книг, которые «есть у всех, но не постигает никто». Один современный ученый недавно заметил, что потребовалось 60 лет, чтобы труд Вейля оценили по достоинству. Отчасти причина в том, что континуум очень трудно объяснить. Кантор называет это мощностью несчетного, неперечислимого множества вещественных чисел («большой бесконечности»); позже он будет объяснять высшему католическому духовенству, что эта величина эквивалентна абсолютной, недосягаемой, неоспоримой и непостижимой абсолютности Бога. Более современный и менее библейский способ определения континуума сводится к вопросу: сколько точек находится на числовой прямой? Понимание этого покажет разницу между большой и малой бесконечностью.
Начинать объяснение с этого страшновато, но приступим.