Страница 176 из 284
Идея конструктивной математики как врожденной человеческой способности не целиком принадлежит Брауэру. Философы возводят ее истоки к французскому математику XVII века Рене Декарту, который отвергал привычные культурные и религиозные ссылки на авторитет и настаивал, что рациональный человеческий разум постигает непосредственность своего окружения и оттуда интуитивно черпает знание. Это основа его знаменитой фразы
Cogito, ergo sum
(«Мыслю, следовательно, существую»), которая удивительным образом спустя 400 лет не противоречит современной нейронауке.
Брауэр соглашается с Декартом в том, что он видит математику по сути как способ восприятия мира – но в смысле первичной человеческой способности, в противовес более формальному, приобретенному человеческому способу, как это видит Гильберт. Но Брауэр идет дальше, чем Декарт или кто-либо другой до него.
Брауэр также выходит за рамки очень известной старой формы интуиционизма, разработанной философом Иммануилом Кантом столетием ранее. Кант был гением во всем, кроме одной наивной ошибки: он считал время и пространство абсолютными. Его идея о том, что мы интуитивно постигаем пространство и время через «непосредственное осознание» наших чувств, абсолютно верна, согласно современным взглядам на познание. Но его подвела концепция абсолютного пространства и времени. К 1920-м годам люди активно отвергали абсолютность времени и пространства, какой бы истинной она ни казалась чувствам. Взлет Эйнштейна к мировой славе был полностью основан на доказательстве искривления света, подтверждающем, что время и пространство не абсолютны, а относительны. Время замедляется. Длина сокращается. Пространство растягивается. Гравитация порождает пугающие странности. И теория относительности Эйнштейна строго нарушает пространственно-временную абсолютность по всем статьям. К 1920-м годам наука ушла от Канта дальше, чем кто-либо мог себе представить.
Грядет и другое, еще более фундаментальное изменение в мировоззрении человечества. Астрономы с помощью все более мощных телескопов вскоре получат из глубин космоса данные о том, что Вселенная совсем не такова, какой мы считали ее с начала времен. Она не фиксированная и бесконечная, а конечная и расширяющаяся. Это немедленно приводит к выводу, что Вселенная не пребывает в стационарном состоянии без начала и конца, а имеет свою сюжетную линию. Происхождение. Начало. Рождение в Большом взрыве. Нашу текущую середину. И когда-нибудь – конец.
Какой еще Кант?
Даешь старую добрую «интуицию»
Старомодные взгляды Канта на интуиционизм становятся «сопутствующим ущербом» на фоне релятивистской революции Эйнштейна и появления теории Большого взрыва. «Старая форма, – говорит Брауэр об интуиционизме Канта в 1920-х, – от которой ныне почти полностью отказались». Он утверждает, что все предшествующее было на самом деле вовсе не интуиционизмом, а чем-то иным. Предынтуиционизмом. Неоинтуиционизмом. Полуинтуиционизмом. (Квазиинтуиционизмом?)
Называйте как хотите, но дух Канта в идеях Брауэра виден отчетливо. После войны Брауэр вернулся к основам, вдохновленным Кантом, которые он заложил еще 12 лет назад в своей странной книге «Жизнь, искусство и мистика». Подобно Канту, он считал, что единственный путь к истинному знанию лежит через индивидуальное сознание и взаимодействие с внешним миром посредством чувств и разума. Мы «интуитивно постигаем» смысл окружающего мира – отсюда и термин «интуиционизм».
Это, кстати, не просто единственный, самый фундаментальный аспект веры Брауэра – это главная точка расхождения, где его мировоззрение глубоко отличается и резко отходит от взглядов Гильберта и почти всех остальных. Почему? Потому что это приводит Брауэра к выводу, что в математике существование никогда нельзя принимать как данность. Оно должно быть установлено «как естественная функция интеллекта, как свободная, живая деятельность мысли», – напишет несколько лет спустя выдающийся ученик Брауэра, голландский математик Аренд Гейтинг. «Для него математика – это порождение человеческого разума», – скажет Гейтинг о Брауэре.
По мнению Брауэра, основания математики должны быть чисто
конструктивными
– это процесс, в котором построение математических объектов и доказательств выступает как познавательная деятельность. Для него в математике важна не столько логическая непротиворечивость и формальные доказательства, сколько построение этих объектов с помощью разума. Он считает, что у людей есть естественная, изначальная, врожденная интуиция счета и натуральных чисел. Именно это, полагает он, должно быть основой математики, а не что-то основанное на испорченном языке или чистой логике.
Для Брауэра поиск нового математического доказательства подобен движению на ощупь по незнакомой местности в темноте. Здесь вы спотыкаетесь. Там ступаете на зыбкую почву. Находите место, где в грязи скрыта утонувшая доска, словно те грязные настилы в траншеях Западного фронта. Вы идете. Держитесь низко. Не имеете понятия, куда идти, но продолжаете двигаться. Смотрите, куда приведет вас путь. Шаг за шагом. С каждым хлюпающим звуком. Сквозь липкое месиво.
На темном поле битвы Первой мировой войны, пока вы знаете, где начали, как далеко прошли и какие повороты сделали, вы можете найти дорогу через грязь, шаг за шагом. Точно так же и в математике вы можете прокладывать путь через доказательство, используя лишь простую концепцию натуральных чисел, добавляя 1 к 2, к 3 и так далее.
Это радикальный подход к математике, и в некотором роде совершенно оригинальный. И все же, поскольку Брауэр заимствует идею Канта об интуитивном постижении и опоре на чувства, интуиционизм – это, пожалуй, целое движение, а не продукт одного человека. Это путешествие, начатое Пуанкаре, с щепоткой Канта и изрядной дозой Кронекера (с его принципом «Бог создал целые числа, все остальное – дело рук человеческих»). Именно Кронекер проложил путь, по которому следует Брауэр: он отказывал в существовании любому объекту под математическим солнцем, который нельзя построить явным образом.