Страница 70 из 87
мужчина(джон) -› человек (джон)
могла бы представлять высказывание: то, что Джон является мужчиной, влечет то, что он является человеком (если Джон мужчина, то он – человек). Понятия импликации и эквивалентности иногда при первом знакомстве с ними представляются несколько сложными. Мы говорим, что α влечет β, если всякий раз, когда α истинно, то β также истинно. Мы говорим, что α эквивалентно β, если α истинно в точности в тех же случаях, что и β. В действительности, эти понятия могут быть определены через понятия 'и', 'или', 'не'. А именно:
α-›β значит то же самое, что (~α)#β
α‹-›β значит то же самое, что и (α&β)#(~α&~β)
α‹-›β также значит то же самое, что и (α-›β)&(α-›β)
До сих пор ничего не было сказано о том, что значат переменные, входящие в состав высказывания. В действительности, использование переменных имеет смысл лишь в случае, когда они вводятся с помощью кванторов. Кванторы позволяют делать высказывания о множествах объектов и формулировать утверждения, истинные для этих множеств. В исчислении предикатов имеются два квантора. Если ν обозначает переменную, а ρ – это произвольное высказывание, то коротко значение кванторов можно выразить так:
Исчисление предикатовОбозначение в книге Значение∀ν. ρall(ν, ρ) «ρ истинно для всех значений переменной ν» ∃ν.ρ exists(ν, ρ) «существует такое значение переменной ρ, для которого ν истинно»