Страница 61 из 87
Более полутора десятков столетий довлели над наукой аристотелевские идеи.
Лишь в эпоху позднего Возрождения учёные возвысили свой голос против схоластических догм. Даже невзирая на то, что, посулив особо рьяным критиканам смертную казнь, французский парламент тем самым приравнял авторитет Платона и его ученика Аристотеля к авторитету евангелия…
Идея непрерывности, противоречившая повседневной интуиции, была отринута мыслителями эпохи Возрождения.
В своих «Беседах и математических доказательствах, касающихся двух новых отраслей науки», Галилей рассуждает о бесконечно малых промежутках между отдельными бесконечно малыми участками прямой. Из письма Кавальери к Галилею явствует, что оба они, как, впрочем, и Кеплер, контрабандой вынашивали идею «неделимого». А взгляды Кеплера и Кавальери, предтеч Ньютона в создании новой математики, — чистейшей воды геометрический атомизм!
«Непосредственная и непрерывающаяся связь между математическим атомизмом древности и нынешним дифференциальным и интегральным исчислением не подлежит сомнению, — говорит профессор С. Я. Лурье в книге «Теория бесконечно малых у древних атомистов». — Историю метода бесконечно малых следует начинать не с Казальери, а с Демокрита».
Итак, исчисление бесконечно малых было построено на атомистическом фундаменте. Но тогда, выходит, парадоксы Зенона остались непреодоленными? Вспомните наше недоумение с дифференциалами: что это — нули или не нули? Какой смысл таится в дроби, где и числитель и знаменатель одновременно стремятся к нулю?
Этот вопрос глубоко волновал другого создателя анализа Лейбница, немецкого коллегу Ньютона. Обозначение dS/dt, введённое Лейбницем, рассматривалось как отношение бесконечно малых величин — дифференциалов dS и dt. Эта символика до сих пор смущает любого из нас, когда мы принимаемся штудировать дифференциальное исчисление. Из выражения: предел ΔS/Δt = dS/dt при Δt стремящемся к нулю, — невольно напрашивается вывод, будто «дельта тэ» стремится сразу к двум пределам: к dt, отнюдь не равному нулю, и в то же время к нулю, а «дельта эс» к dS и к нулю! А всё потому, что перед нами «ископаемые останки» атомистической эпохи в математике. Стоит допустить, что кривая составлена из мельчайших «атомов», как пределом для приращения «дельта эс» или «дельта тэ» будет уже не нуль, то есть ничто, а высота или, ширина этой неделимой геометрической крупицы: dS или соответственно dt. Теперь, с позиций Лейбница, безо всяких ухищрений легко поддаётся уразумению и равенство: предел ΔS/Δt = dS/dt Ибо при атомистическом подходе предел ΔS равен dS, а предел Δt равен dt. Вот именно: при атомистическом. При том самом, который в пух и прах был разнесён ещё Зеноном. При том самом, от которого давным-давно уже ушла математика. Ну, а сегодня, когда математика вновь стоит на позициях непрерывности, тоже кстати зело подорванных Зеноном? Дают ли о себе знать коварные аргументы элеатов?
Откройте прекрасную книгу Р. Куранта и Г. Роббинса «Что такое математика». Там сказано: дифференциалы как бесконечно малые величины из математического обихода изгнаны окончательно и не без позора. И всё же сам термин «дифференциал» прокрался обратно через чёрный ход. Он как ни в чём не бывало по-прежнему фигурирует в обозначениях, сохранившихся до сего времени и сбивающих с толку: dS/dt. Правда, сегодня в математики видят не бесконечно малую величину, а конечное приращение «дельта тэ». Что же касается dS/dt, то эта «дробь» в целом стала просто символом результата, который получается при переходе к пределу. Действительно, прежде чем переходить к пределу, можно избавиться от будущего «нуля» в знаменателе. Для этого числитель дроби ΔS/Δt раскрывают; ведь за этим символом стоит обычная алгебраическая разность. Разность между двумя выражениями одного и того же математического закона, но для двух разных точек кривой. В формуле разности появляется сомножитель «дельта тэ». Тот же самый, что стоит в знаменателе! А раз так, то и числитель и знаменатель можно сократить на «дельта тэ». Ведь это не возбраняется до тех пор, пока «дельта тэ» не равно нулю. Так «дельта тэ» исчезает из знаменателя. Правда, в формуле для числителя после сокращения остаётся ещё одно «дельта тэ». Но потом, когда мы переходим к пределу, это второе «дельта тэ» обращается в нуль. Так — сложно ли, просто ли — но для каждой функции удаётся ловким манёвром миновать нелепость:
ΔS/Δt = 0/0.
Конечно, Ньютон и Лейбниц тоже умели находить интегралы и производные такими способами. Но они не признавали за предельной процедурой исключительного права служить опорой новых методов. Они рассуждали примерно так: да, интеграл и производную можно вычислить как пределы. Но чем же, чёрт побери, являются эти понятия сами по себе?
Вот, к примеру, наклон кривой. Он существует сам по себе, независимо от хитроумного геометрического построения, сопровождавшегося предельным переходом. То же самое можно сказать и об интеграле, который истолковывается как площадь плоской фигуры, ограниченной осями координат и нашей кривой.: мол, такое понятие, как площадь, имеет некий абсолютный «смысл в себе», и вроде бы нет надобности привлекать вспомогательные операции с пределами.
Иначе рассуждают современные математики.
«Ни Ньютон, ни Лейбниц, — говорится в книге Р. Куранта и Г. Роббинса, — не смогли занять ту отчётливую позицию, которая нам кажется простой и естественной теперь, когда понятие предела полностью выяснено. Их пример господствовал больше столетия, в течение которого сущность дела была затемнена бесплодными рассуждениями о «бесконечно малых величинах», о «дифференциалах» и т. д.
Считалось, что такие понятия доступны лишь немногим избранным, обладающим настоящим математическим чутьём, и что анализ поэтому, по существу, очень труден, так как не всякий обладает этим чутьём или может его развить. Интеграл, аналогичным образом, рассматривался как сумма «бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых». Существовало представление, будто такая сумма есть интеграл, или площадь, в то время как вычисление её значения как предела последовательности конечных сумм обыкновенных слагаемых рассматривалось как некий придаток… Теперь мы попросту отбрасываем желание «непосредственно» объяснить интеграл и определяем его как предел последовательности конечных сумм. Этим путём все трудности и устраняются, и всё, что ценно в анализе, приобретает твёрдую основу»..