Страница 58 из 87
Перед нами убывающая геометрическая прогрессия. Её сумму запросто подсчитает любой теперешний школьник, если, конечно, он уже прошёл алгебру по учебнику, кажется, для восьмого класса; эта сумма равна 1111 /9 . Проделав, нехитрый подсчёт, Минто заключает: «Софист хочет доказать, что Ахилл никогда не догонит черепаху, а на самом деле доказывает лишь то, что Ахилл перегоняет её между 111-й и 112-й саженями на их пути».
Вроде бы правильно. Вроде бы логично. Увы, торжествующий опровергатель не ответил посрамлённому софисту, ибо вопрос ставился иначе: не когда, а как возможна подобная встреча…
Пусть читатель сам рассудит античного мудреца и его оппонента.
Чтобы получить в ответе 1111 /9 сажени, вовсе не обязательно прибегать к суммированию бесконечного ряда. Можно решить задачу обычным алгебраическим путём, приняв за неизвестное путь, который проползёт до момента «рандеву» пресмыкающаяся красавица, кокетливо убегающая от своего самоуверенного преследователя.
Уж коли у нас объявилось неизвестное, быть ему иксом — х. Тогда путь, промаршированный Ахиллом, окажется больше дистанции, разделявшей бегунов во время старта, на отрезок, покрытый черепахой до встречи с Ахиллом: 100 + х Теперь вникните: время движения от старта до встречи у обоих бегунов одно и то же. А скорость у Ахилла в десять раз выше. Значит, путь, проделанный Ахиллом, будет тоже в десять раз больше, чем черепаший (х). Составляем уравнение: (100 + х): х = 10. Подсчитайте: х = 111 /9 . Столько саженей проползла черепаха. А Ахилл? 100+ х = 1111 /9 .
Трудно поверить, чтобы Зенон не сумел найти искомый отрезок пути подобными элементарными средствами. Ещё труднее представить, что Зенон никогда никого не перегонял или не видел, как это делают другие. Нет, не зря античный мыслитель формулирует задачу так, что в ней появляется понятие о бесконечном ряде! Его не мучает сомнение: может ли тело проделать путь, составленный из кусочков? Мыслитель смущён другим: как возможен последовательный синтез бесчисленного множества отрезков, если он будет длиться вечно, так и не достигнув предела?
Не достигнув? А точка, отстоящая от старта на 1111 /9 сажени, — не есть ли это тот самый предел? Есть. Тот самый! Но разве вопрос сводился к тому, каков он? Нет! К тому, как переменная (в данном случае сумма ряда) достигает своего предела. И достигает ли вообще?
Мы назвали сумму переменной величиной. Так оно и есть. Вспомните ряд, составленный Минто: 100+10+1+0,1+0,01 + + 0,00,1. Покуда он содержит шесть членов. Их сумма равна 111,111. Это число меньше, чем 1111 /9 . Правда, чуть-чуть, но всё-таки меньше! Разница станет ещё меньше, если мы присовокупим к последовательности ещё один член, седьмой: 100 + 10 + 1 + 0,01 + 0,01 + 0,001 + 0,0001. Сумма изменилась, теперь она равна 111,1111. Семь членов — семь знаков в числе — единичек, заметили? Если членов будет восемь, сумма опять удлинится на единичку: 111,11111. И так далее. Но возьмёте ли вы сто, тысячу, миллиард миллиардов членов, всё равно ваше число с колоссальным по длине хвостом из единиц будет меньше 1111 /9 . Сумма изменяется, растёт, но не достигает предела. И всё-таки мы умеем подсчитать предел, к которому она стремится.
Делается это так. Берётся формула для суммы конечного (подчёркиваем: не бесконечного!) количества членов. Она легко выводится — загляните в школьный учебник алгебры. Давайте подставим в неё характеристики нашей геометрической прогрессии. Первый член у нас 100. А знаменатель прогрессии — одна десятая (0,1) — ведь у нас каждый следующий член меньше предыдущего в десять раз. Предположим, мы хотим подсчитать сумму для 777 членов. Получим:
100/(1–0,1) [1 — (0.1)777+1 ].
Нетрудно видеть, что число перед квадратными скобками равно 1111 /9 . А содержимое квадратных скобок? Чуть меньше единицы. И оно будет тем ближе к единице, чем больше показатель степени у дроби 0,1, заключённой в круглые скобки. Но приглядитесь к показателю степени — это же число членов ряда плюс единичка!
А теперь начинается самое интересное. Мы переходим от конечного числа членов к бесконечному. Показатель степени при (0,1) неограниченно возрастает. Что же происходит с самой степенью — с одной десятой, умноженной на себя столь многократно, что и вообразить невозможно? Она становится бесконечно малой величиной, стремящейся к нулю. А раз так, то, как написано в вашем учебнике, мы вправе её попросту отбросить, приравняв к нулю. В квадратных скобках остаётся единица. Стало быть, искомый предел равен 1111 /9 .
Но послушаем, что говорит по этому поводу математика (устами академика А. А. Маркова): «Важно заметить, что к совокупности значений бесконечно малой мы не причисляем её предела 0». А французский математик Мансион выражается ещё недвусмысленней: «Пределом переменной мы называем постоянную величину, к которой переменная неопределённо приближается, никогда её не достигая». Но то же самое говорил и Зенон, облекая разве что абстрактные математические символы в яркие образы, навеянные прекрасными античными мифами! Как бы далеко мы ни шли в последовательной интеграции укорачивающихся «движеньиц» Ахилла, мы никогда не получим целиком его пути до встречи с черепахой! Как сказано у Гомера («Илиада» в переводе Гнедича):
Подмеченные Зеноном трудности в строгом истолковании понятий «предел» и «непрерывность» можно проиллюстрировать и на более простом примере.
Представьте: у вас в комнате по полу ползёт черепаха. И вдруг — стоп! — животное упёрлось носом в стенку. Путь черепахи — переменная величина, растущая до какого-то предела. Предел — стена. Вернее, точка, ограничивающая траекторию черепахи. Но эта точка не принадлежит к бесконечному множеству точек траектории! Мало того: у черепашьего пути вообще невозможно определить последнюю точку — ту, где обретается черепаший нос в момент удара, ту, что предшествует предельной — точке стены. Здесь мы ненароком коснулись другой апории Зенона. Если первая в истории математики фигурирует под названием «Ахилл», то второй присвоено имя «Дихотомия». Это древнегреческое слово переводится так: «бесконечное деление пополам».