Страница 7 из 10
aRb,
(Ǝ х): aRx × xRb,
(Ǝ x, y): aRx × xRy × yRb, …
Чтобы выразить общее последовательности форм, мы должны использовать переменную, поскольку понятие «общее последовательности форм» есть формальное понятие. (Именно это упустили Фреге и Рассел: способ, каким они хотели выражать общие суждения, наподобие приведенного выше, некорректен; он содержит порочный круг.)
Мы можем определить общее последовательности форм, задав первый член последовательности и общую форму операции, которая порождает следующий член из суждения, ему предшествующего.
4.1274. Спрашивать, существует ли формальное понятие, бессмысленно. Ибо никакое суждение не может быть ответом на подобный вопрос.
(Нельзя, например, спросить: «Существуют ли не поддающиеся анализу субъектно-предикатные суждения?»)
4.128. Логические формы не имеют исчисления.
Поэтому в логике нет привилегированных чисел, как нет и возможности философского монизма или дуализма и т. п.
4.2. Смысл суждения заключен в его соотнесенности или несоотнесенности с возможностью существования или не-существования позиций.
4.21. Простейшая разновидность суждения, элементарное суждение, утверждает существование позиции.
4.211. Признак элементарного суждения – ему не противоречит никакое другое элементарное суждение.
4.22. Элементарное суждение состоит из имен. Это сочетание, сцепление имен.
4.221. Очевидно, что анализ суждений должен приводить к элементарным суждениям, состоящим из имен, связанных непосредственно.
Отсюда вопрос, как воплощаются подобные связи в суждении.
4.2211. Даже если мир бесконечно сложен и каждый факт состоит из бесконечного множества позиций, а каждая позиция включает в себя бесконечное множество объектов, всегда будут объекты и позиции.
4.23. Лишь в составе элементарного суждения имя входит в суждение.
4.24. Имена являются простыми символами: я обозначаю их отдельными буквами («x», «y», «z»).
Я записываю элементарные суждения как функции имен, и они имеют форму «fx», «φ (x, y)» и т. д.
Или же я присваиваю им буквы «p», «q», «r».
4.241. Используя два знака с одним и тем же значением, я выражаю это постановкой между ними знака «=».
Так, «a = b» означает, что знак «b» может быть заменен знаком «a».
(Если я использую уравнение, чтобы ввести новый знак «b», предполагая, что он заменит уже имеющийся знак «a», тогда, подобно Расселу, я записываю уравнение-определение в форме «a = b Def». Определение есть правило действий со знаками.)
4.242. Выражения в форме «a = b» суть, таким образом, простые представления. Они ничего не говорят о значениях знаков «a» и «b».
4.243. Можем ли мы понять два имени, не зная, обозначают ли они одно и то же или различное? Можем ли мы понять суждение, в котором встречаются два имени, не зная, одинаковы их значения или различны?
Предположим, мне известны значения английского и немецкого слов, которые обозначают то же самое; я не могу не признать, что они означают одно и то же; в этом случае я должен суметь перевести одно слово в другое.
Выражения вида «a = a» и их производные не являются элементарными суждениями и ни в каком отношении не имеют смысла.
(Это станет очевидно позднее.)
4.25. Если элементарное суждение истинно, позиция существует; если элементарное суждение ложно, позиция не существует.
4.26. Если заданы все истинные элементарные суждения, мы получим полное описание мира. Мир полностью описывается заданием всех элементарных суждений и указанием, какие из них истинны, а какие ложны.
4.27. Для n числа позиций имеются возможностей существования и несуществования.
Из этих позиций любая комбинация может существовать, а прочие – не существовать.
4.28. Этим комбинациям соответствует равное число возможностей истинности и ложности для n элементарных суждений.
4.3. Возможность истинности элементарных суждений означает возможность существования или не-существования позиций.
4.31. Мы можем представить возможности истинности схемой следующего вида («И» значит «истинно», «Л» значит «ложно», столбцы знаков «И» и «Л» под строками элементарных суждений символизируют их возможности истинности наглядным образом).
4.4. Суждение есть выражение соотнесенности или несоотнесенности с возможностями истинности элементарных суждений.
4.41. Возможности истинности элементарных суждений суть условия истинности или ложности суждений.
4.411. Сразу становится очевидным, что введение элементарных суждений создает основу для понимания всех прочих суждений. В самом деле понимание общих суждений ощутимо зависит от понимания элементарных суждений.
4.42. Для n числа элементарных суждений имеется
вариантов, какими суждение может соотноситься или не соотноситься с возможностями истинности.
4.43. Соответствие возможностям истинности можно выразить индексом «И» в приведенной выше схеме. Отсутствие этого индекса означает несоответствие.
4.431. Выражение соотнесенности или несоотнесенности с возможностями истинности элементарных суждений обозначает условия истинности суждения.
Суждение есть выражение условий его истинности. (И Фреге был абсолютно прав, используя их как отправную точку для объяснения знаков своей понятийной записи. А вот в объяснении понятия истинности Фреге допустил ошибку: если «истинное» и «ложное» – реальные объекты и аргументы в формуле ~p и т. д., тогда метод, каким Фреге определял смысл «~p», оставил бы их неопределенными.)
4.44. Знак, который получается из сопоставления индекса «И» с возможностями истинности, есть пропозициональный знак.
4.441. Очевидно, что совокупность знаков «И» и «Л» не имеет объекта (или совокупности объектов), сопоставленных ей, как ничто не сопоставлено вертикальным и горизонтальным линиям в таблице или скобкам. Нет никаких «логических объектов».
Разумеется, то же применимо ко всем знакам, выражающим то, что выражают знаки «И» и «Л» в таблице.
4.442. Например, следующее есть пропозициональный знак.
(Знак утверждения Фреге «⊢» логически не имеет значения; в работах Фреге (и Рассела) он просто указывает, что эти авторы считают суждения, отмеченные таким знаком, истинными. Поэтому «⊢» является составной частью суждения не более чем, допустим, номер суждения. Невозможно, чтобы суждение утверждало свою истинность.)
Если последовательность возможностей истинности в таблице фиксирована при помощи комбинаторного правила раз и навсегда, тогда последний столбец сам по себе будет выражением условия истинности. Если записать этот столбец в строку, пропозициональный знак приобретет вид
«(ИИ – И) (p, q)»,
или, более наглядно,
«(ИИЛИ) (p, q)».
(Число мест в левых скобках определяется числом членов выражения в правых скобках.)
4.45. Для n элементарных суждений имеется Ln возможных групп условий истинности.
Группы условий истинности, извлекаемые из возможностей истинности заданного числа элементарных суждений, можно организовать в последовательности.
4.46. Среди возможных групп условий истинности есть два предельных случая.
В одном случае суждение истинно для всех возможностей истинности элементарного суждения. И мы говорим, что условия истинности тавтологичны.