Страница 157 из 176
Рис. 2. Структура модели образования динамической и мультипликативной дополнительной погрешностей при учете динамических свойств каналов сигналов входного и влияющего воздействий
При наличии в измерительном канале инерционности в результат измерения помимо дополнительной погрешности вносится еще и динамическая погрешность. Существующие методы расчета позволяют вычислить отдельно каждую составляющую, а затем, произвести геометрическое суммирование. При этом, как правило, предполагается, что эти составляющие статистически независимы. В действительности, это допущение не совсем корректно, т. к. не учитывает наличие корреляционной связи между составляющими суммарной погрешности, возникающей при прохождении измерительного сигнала и сигнала влияющей величины через тракт ИП.
Суммарная погрешность ИП, будет определяться из соотношения:
Δ(t) = x(t) — y1(t) = x(t) — [a∙y(t)e(t) + y(t)].
Определим квадрат суммарной погрешности:
Δ2(t) = [x(t) — y(t) — ay(t)e(t)]2 = [x(t) — y(t)]2 + a2y2(t)e2(t) — 2ay(t)[x(t) — y(t)].
В выражении (11) присутствуют 3 составляющие. Первая определяет квадрат динамической погрешности Δ2дин; вторая — квадрат дополнительной погрешности Δ2доп; третья — член, обусловлен наличием корреляционной связи между дополнительной и динамической погрешностями.
Рассмотрим, в качестве примера, случай, когда случайный процесс на входе измерительного канала имеет спектральную плотность мощности вида:
Sx(ω) = 2σ2xα/π(α2 + ω2),
где α — параметр функции СПМ, а передаточная функция каналов воздействия сигналов ИП описываются инерционным звеном первого порядка:
W(jω) = 1/(1 + jωT))
где Т — постоянная времени.
Дисперсии измеряемой и влияющей величин соответственно равны [12]:
σ2y = σ2x/(1 + αT1),
σ2e = σ2ε/(1 + αT2),
Примем так же, как наиболее характерный случай, что корреляционная матрица входного воздействия и влияющей величины определена как:
где ах, аε и ахε, аεх, с = σxσεpxε — параметры соответственно корреляционных и взаимных корреляционных функций измеряемого и влияющего воздействий.
Математическое ожидание квадрата динамической погрешности равно:
M{Δ2дин} = σxВ1/(1 + B1)
где В1 = аxТ1.
Математическое ожидание квадрата мультипликативной дополнительной погрешности:
где В2 = аεТ2.
Математическое ожидание корреляционной составляющей суммарной погрешности определяется из следующего выражения:
(14)
где B3 = axεT1; B4 = axεT2.
Максимальное увеличение суммарной динамической и дополнительной погрешности, при учете корреляционной связи между этими погрешностями, в рассмотренном примере, не превышает 20 %. Такое увеличение суммарной погрешности является несущественным и, поэтому, во многих случаях, корреляционной составляющей можно пренебречь.
В том случае, если дополнительная погрешность является чисто аддитивной, то математическое ожидание ее квадрата определяется только статистическими параметрами влияющей величины:
M{Δ2доп} = b2[μ2ε + σ2ε]. (15)
где b — коэффициент влияния аддитивной дополнительной погрешности.
На рис. 3 представлена структура модели образования мультипликативно-аддитивной дополнительной погрешности.
Рис. 3. Структура модели образования мультипликативно-аддитивной дополнительной погрешности измерительного преобразователя
Дополнительная погрешность на выходе ИП равна:
Δдоп(t) = ax(t)ε(t) + bε(t).
Математическое ожидание квадрата мультипликативно-аддитивной дополнительной погрешности, при учете корреляции между измеряемой и влияющей величиной, равно:
Выражение (16) состоит из трех частей, образующих три слагаемых суммарной погрешности. Первая часть характеризует мультипликативную составляющую, которая совпадает с (6). Вторая часть — аддитивную, совпадающую с (15). Третья — характеризует статистическую зависимость между аддитивной и мультипликативной составляющими суммарной погрешности:
M{Δp} = 2ab[μxμ2ε + μxσ2ε + 2μεσxσεpxε]. (17)
Максимальное увеличение суммарной дополнительной погрешности, при учете корреляционной связи достигает 100 %. Такое увеличение суммарной погрешности за счет корреляционной составляющей является существенным и поэтому ее следует обязательно учитывать при расчетах аддитивно-мультипликативной дополнительной погрешности.
Рассмотренная в качестве примера структура измерительного канала, имеющая инерционные звенья, является лишь частным случаем более сложных динамических структур. Наличие в каналах измеряемой и влияющей величин сложных динамических структур не позволяет представлять результаты в аналитическом виде. В этих случаях следует использовать численное моделирование.
Литература
1. Миф Н.П. Оптимизация точности измерений в производстве. — М.: Издательство стандартов, 1991. - 136 с.
2. Нормирование и использование метрологических характеристик средств измерений. Нормативно-технические документы. ГОСТ 8.009-84, методический материал по применению ГОСТ 8.009-84, - М.: Изд-во стандартов, 1985.
3. Волгин В.В. Модели случайных процессов для вероятностных задач синтеза АСУ. Генеральная совокупность реализаций. Эргодичность. Единственная реализация. — М.: Издательство МЭИ, 1998. - 64 с.
4. Волгин В.В., Каримов PH. Оценка корреляционных функций в промышленных системах управления. — М.: Энергия, 1979. - 80 с.
5. Сергеев А.Г., Крохин В.В. Метрология. — М.: Логос, 2000.
6. Пинхусович P.Л, Кузнецов Б.Ф., Пудалов А.Д. Метод расчета дополнительной погрешности измерительных преобразователей при коррелированных воздействиях. // Измерительная техника, 2002, № 9, с. 12–14.
7. Пинхусович P.Л, Кузнецов Б.Ф., Пудалов А.Д. Модель дополнительной погрешности измерительных преобразователей от множества влияющих воздействий. // Математические методы в технике и технологиях: Сборник трудов XV Международной научной конференции. В 10-и т. Том 7. Секция 7/ Под общ. Ред. B.C. Балакирева. Тамбов: Изд-во ТГТУ, 2002, с. 13–16.