Страница 141 из 150
Покажем, что Vt € (—1,0) φ(1/t) > φ(t). Для этого рассмотрим функцию ξ(t) = φ(t)/φ(1/t) = t2еt — 1/t'. Ясно, что ξ(-1) = 1, а поскольку
Дальше все просто. Т. к. φ(t) < φ(1/t) Vt € (—1,0), то (обозначив 1/t через τ):
Поскольку t1 < —1 < t2, то соединяя (11) и (12), мы получим оба условия (9). Что и требовалось.
Коль скоро при a < е-e оба условия (9) выполнены, то действительно функция F имеет 1 minimum и 1 maximum, выполняется условие (5), и уравнение (4) в самом деле имеет три решения. Значит, и эквивалентное ему исходное уравнение (1) имеет три решения. Указанное положение дел иллюстрируется Рис. 4.
Рис. 4: Графики функций у = ax (красный), у = loga х (синий) и у = х (зеленый) — случай трех точек пересечения.
Одна из точек пересечения графиков функций у = ax (красный) и у = loga x; (синий) лежит на прямой у = х, т. е. является еще и решением уравнений аx = х и loga х = х, а остальные две симметричны относительно этой прямой. При а —> е-e данные точки «слипаются» на прямой у = х, при а = е~е имеет место касание графиков функций у = ах и у = loga х, а в дальнейшем, т. е. при a > е-e точка пересечения будет уже одна, и находиться она будет, конечно же, снова на прямой у = х (Рис. 5).
Рис. 5: Графики функций у = ах (красный), у = loga х (синий) и у = х (зеленый) — случай одной точки пересечения.
Рассмотрим уравнение линейного одномерного классического осциллятора с трением (уравнение затухающих колебаний):
х∙∙ + 2δх∙ + w20х = 0. (1)
Соответствующее характеристическое уравнение
λ2 + 2δλ + w20 = 0 имеет корни
λ1,2 = — δ ± √(δ2 — w20) — δ ± ip,
где
p = √(w20 — δ2)
Поэтому общее решение уравнения (1) есть:
x(t) = e-δt(Ae-ipt + Beipt). (2)
Уравнение второго порядка — две произвольные постоянные для того, чтобы удовлетворить любым начальным условиям.
Однако, здесь возникает трудность. Вот что говорит по этому поводу Л. И. Мандельштам («Лекции по теории колебаний», стр. 138):
«Рассмотрим последний случай, когда
δ = w0, λ1 =λ2
При этом решение (2) принимает вид:
х = Ае-λt. (3)
Если мы захотим приспособить такое решение к начальным условиям, то нам не хватит одной постоянной интегрирования. Нетрудно, однако, показать, что в этом специальном случае наряду с решением вида (3) имеет решение вида tе-λt и общее решение таково:
х = Ае-λt + Btе-λt. (4)
В нем опять имеются две независимые константы, и его можно приспособить к любым начальным условиям.
Случай, когда λ1 и λ2 почти равны друг другу, и случай, когда они в точности равны, физически близки друг другу. Замечу, что этот случай важен в теории измерительных приборов. Часто требуется, чтобы измерительный прибор как можно быстрее приходил в положение равновесия. Оказывается, это требование выполняется как раз тогда, когда характеристическое уравнение имеет равные корни.»
В самом деле, физически ситуацию λ1 и λ2 от ситуации λ1 ~= λ2 мы отличить не можем из-за конечной точности измерения любых величин и, в частности, коэффициентов уравнения (1) (в какой-то момент δ станет неотличимым от w0, не будучи равным ему в точности), в то время как решения (2) и (4) уравнения (1), отвечающие этим различным ситуациям, различаются весьма существенно. Перепишем решение (4) в виде, схожем с видом решения (2):
x(t) = e-δt(A + Bt). (5)
Таким образом видно, что асимптотики решений (2) и (5) существенно различны: в первом случае затухающая экспонента, умноженная на осциллирующие (и, стало быть, ограниченные) синус и косинус, а во втором — такая же экспонента (δ уже неотличимо), умноженная на растущую линейную функцию, и никаких осцилляций. Получается как бы парадокс: физически неразличимые ситуации можно различить…
Разрешение этого «парадокса» на следующей странице.
Возникновение данного «парадокса» заключается в неправильном понимании того, что именно должно быть неразличимо при λ1 ~= λ2. На деле физическое требование неразличимости ситуаций λ1 ~= λ2 и λ1 = λ2 заключается в том, что при δ —> w0 переходить друг в друга должны не общие решения (2) и (5) уравнения (1), а решения физической задачи, каковой является задача Коши о колебаниях осциллятора с данными начальными условиями х0 и х∙0. А последнее свойство как раз имеет место. Убедимся в этом.
При δ = w0 решение задачи Коши имеет вид:
(6)
При δ —> w0 общее решение должно переходить именно в него.
В общем случае δ /= w0 решение задачи Коши имеет вид:
(7)
При δ —> w0 частота осцилляций р —> 0, дробь > sin pt/p — > t, cos pt —> 1, и решение (7) переходит в (6). Видно, что хотя формально осцилляции (т. е. члены с синусом и косинусом) в решении (7) сохраняются всегда, но частота их (именно, р) становится столь малой, что на не слишком больших временах (много меньших, чем период колебаний τ = 2π/p >>1) они незаметны. Т. е. отличие δ от w0о можно заметить лишь через очень большое время, и тем большее, чем меньше эта разность, что физически разумно.
Задача: "Возле жесткой стенки (но достаточно далеко) на горизонтальном полу лежит шар массы M, на перпендикуляре между этим шаром и стенкой лежит шар массы m (m < M). Большой шар начинает двигаться точно к стенке с какой-то скоростью. Малый шар начинает биться между стенкой и большим шаром (все соударения абсолютно жесткие и лобовые). Доказать что при M/m > оо, N/√(M/m) = —> π где N — число соударений малого шара с большим и стенкой."
Утверждается что при:
M/m = 1, N = 3 (всем ежам ясно);
M/m = 100, N = 31;
M/m = 10000, N = 314;
M/m = 1000000, N = 3141,
ну и т. д.
Решение.
Рассмотрим процесс упругого соударения двух шаров. Введем некоторые обозначения. Скорость большего шара обозначим через V1 малого — через v2. Эти скорости — алгебраические величины, т. е. они могут быть любого знака, смотря по тому, в какую сторону движется шар. Так, в начальный момент времени (до соударений) V1(0) < 0, v2(0) = 0. Отношение масс шаров M/m обозначим через x.