Страница 75 из 111
Еще раз обратившись к нашему перечню, мы можем выделить три типа бесконечности как таковой, т. е. бесконечности актуальной, и этим типам присвоить наименования определенно унифицирующего характера, прибегнув еще к услугам некоторого рода оксюморона, ибо для характеристик необычного мира бесконечности будет применена соотносительная терминология, почерпнутая из мира конечных величин и потому в определенной мере привычная для обыденного сознания. Итак, предлагается различать следующие типы бесконечности:
Ω — абсолют, или актуально бесконечное большое;
אi— иерархия алефов, или актуально бесконечных средних;
0i — иерархия нулей, или актуально бесконечных малых.
Актуально бесконечное большое предстает здесь единственным, актуально бесконечных средних и малых — бесконечно много, в соответствии с результатами теории трансфинитных чисел (в рамках теории множеств) и нестандартного анализа, соответственно. Попробуем, однако, задаться вопросом, возможна ли теория, в которой иерархии средних и малых актуальных бесконечностей (вместе или порознь) являются ограниченными, т. е. индекс i принимает конечное значение 10. В этом смысле интересной видится гипотетическая возможность, когда вместо убывающего ряда 0i = אi-1 (как обобщения известного соотношения 0 = ∞ –1) может строиться возрастающий ряд 0i = אi × Ω –1 такой, что некоторый 0i становится достаточно большим. Пока такой теории нет, а потому встреча в одном уравнении всех трех типов актуальной бесконечности носит еще, может быть, сугубо символический характер. Да и сами элементы уравнения (за исключением разве что אi — относительно алефов Кантором построена достаточно убедительная теория 11) вернее было бы считать только символами бесконечности, в духе ранней терминологии Кантора и работ Флоренского. Конечно, за всяким символом обязательно стоит та или иная реальность, уже проявленная либо покамест сокрытая.
Однако наша типология бесконечностей, выраженная на языке бинарных форм, еще не завершена. В ее рамках естественно возникает описание еще одного типа бесконечности, который также приходится признать синтетическим и еще, выражаясь языком Николая Кузанского, обнаруживать за ним зримое coincidencia oppositorum. А именно, представляется возможным объединение интегральных типов малое целое (h) и целое многое (d) в единой триадной композиции — малое целое многое или, с переводом составляющей целое в разряд подразумеваемых, в единой бинарной форме малое многое (i). С формальной точки зрения наша сокращенная запись для трех типов (они перечислены выше) и двух «состояний» бесконечности (в аспекте малое и многое) определенно находит себе аналоги в математической области. Например, вспоминаются особенности техники записи скалярного произведения состояний квантовых объектов с помощью «скобок Дирака». Но много интереснее обнаружить, далее, что и математике и даже обыденному сознанию давно известен сам объект, описанный у нас в качестве типа (i). Это — конечное число. Как синтез двух целостностей, а именно синтез малого целого и целого многого всякое конечное число А выступает уже в т. н. неопределенном уравнении А = 0 × ∞. Это уравнение известно даже школьникам, не говоря уже о студентах (но все ли учителя и профессора понимают его смысл?). Можно указать и содержательно развитое философское учение о синтезе нуля и бесконечности в конечном числе, представленное, как нетрудно догадаться, теми же «Диалектическими основами математики» 12. В логическом отношении нуль и бесконечное предшествуют конечному, конечное предстает как развернутый нуль или свернутое бесконечное. Потому в построении типологии на языке бинарных форм мы и имели право продолжить нумерацию возможных подходов к бесконечности до пункта (i), и здесь осталось только придать полученному типу соответствующее наименование — актуально бесконечное конечное. Это будет завершающий наш перечень четвертый тип бесконечности, бесконечность в несобственном смысле слова, т. е. конечное как отрицание (принято говорить — диалектическое снятие) бесконечности, конечное как модификация бесконечности 13.
В заключение осталось отметить следующее. Конечно же, полученная типология непривычна, она носит во многом гипотетический характер и потому может показаться излишней либо избыточной. Но прислушаемся здесь к мнению Гёте и вслед за ним не будем «жаловаться на изобилие теорий и гипотез; напротив, чем больше их создается, тем лучше», ибо гипотезы — это «ступени, на которых надо давать публике лишь самый короткий отдых, чтобы вести ее затем все выше и дальше», это как раз те «удобные образы, облегчающие представление целого» 14. Выше, дальше и к целому дерзает обратиться и намеченная гипотеза о типах бесконечности.
3.8. Загадочный набросок
(еще к теме «Имяславие и теория множеств»)
Однажды при разборе документов из необработанной части архива А.Ф. Лосева нам попался небольшой листок пожелтевшей бумаги (формата страницы школьной тетради) с сильно потрепанными краями и оторванным нижним уголком, отнявшим часть текста. Листок с двух сторон был плотно исписан фиолетовыми чернилами. У текста явно отсутствовало начало, поскольку он открывался тезисом-подпунктом 2 пункта 5. В характерной для автора манере письма строки занимали половину ширины страницы, так что площадь ее заполнялась в два столбика. Почерк выглядел достаточно разборчивым и устойчивым, что сообщало — перед нами рукопись 20-х годов (т. е. периода еще до ареста и пребывания в концлагере, где Лосев существенно подорвал зрение). Тут было довольно много неких «пунктов» в тезисной форме, снабженных обычной для Лосева весьма изощренной буквенно-цифровой нотацией. Итак, тезисы, но чего именно?
Даже при первом знакомстве с их содержанием можно было без труда определить, что перед нами оказался набросок плана работы на тему, которую можно условно (и в то же время с достаточно удовлетворительной точностью) сформулировать с помощью строчки одного из имяславских докладов Лосева: математическое учение о множествах на службе имяславия 1. Это полагалось в давних замыслах философа — построить или по меньшей мере проиллюстрировать определенную часть православной догматики с помощью точных методов и уже в рамках данной воистину трудной задачи развить, в частности, основные положения имяславского учения на базе математических конструкций теории множеств.
«Будучи приложенным к имяславию, — обещал Лосев в одной из своих заметок около 1919 года, — все это даст ясный образ логической структуры имени в его бесконечном и конечном функционировании» 2.
А вот что писалось спустя примерно десять лет в «Диалектике мифа», когда имелось в виду базовое для теории множеств понятие актуальной бесконечности:
«Эта бесконечность есть нечто осмысленное и оформленное, — в этом смысле конечное. Она имеет свою точно сформулированную структуру; и существует целая наука о типах и порядках бесконечности. Эта теория трансфинитных чисел должна быть обязательно привлечена для целей абсолютной мифологии» 3.
Как свидетельствовали тезисы новонайденного наброска, Лосев всерьез работал над реализацией подобных намерений, и происходило это, вероятно, как раз где-то в период между отметками-границами двух приведенных высказываний. Возможно, датировку наброска следует переместить ближе к более поздней границе, поскольку написан он в новой орфографии.