Страница 58 из 111
Все эти специфические и, может быть, скучные «технические» подробности приходится излагать только ради возможности прийти к вопросу, для нашей темы важнейшему, к вопросу о соприкосновении бесконечности и Бесконечности. Имяславцы давали на него собственный ответ, а в арсенал своих аргументов они вполне могли бы включить следующее высказывание Кантора:
«Как ни ограничена в действительности человеческая природа, к ней все-таки прилипло очень многое от бесконечного, и я думаю даже, что если бы она не была сама во многих отношениях бесконечной, то нельзя было бы объяснить твердой убежденности и уверенности в бытии абсолютного» 19.
Отнесение «человеческой природы» в область бесконечного вместе с прямым доказательством своего рода «соразмерности» — в этой области — объемлемого (а если это человек?) и объемлющего (а если это Бог?) дает право решать вопрос о «соприкосновении» в каком-то смысле положительно. Но тут же встает иная проблема. Как ни называть отношение, в строгом ли смысле эквивалентностью множества и подмножества 20, в нестрогом ли смысле «соразмерностью» или «соприкосновением» (а то и вовсе сказать — «прилипло»), сомнение возникает одно и то же: если это отношение предполагается между тварью (пусть — бесконечностью) и Творцом (пусть — Бесконечностью), то построения теории множеств, выходит, смыкаются с пантеизмом. В трудах самого Кантора засвидетельствовано, что упреки в пантеизме он действительно получал 21, а в свою очередь Флоренский прямо так и объяснял «десятилетнее» (возможен, отметим, и другой подсчет) молчание математика, первоначально таившего свое новое понимание бесконечности, — он действительно обдумывал и проверял, «нет ли в его идеях ошибок и неувязок, не ведет ли его учение к пантеизму» 22. Поэтому не нужно удивляться, когда где-нибудь в сугубо математическом тексте создателя теории множеств вдруг встретится явно не математическое, явно с «онтологическим привкусом» утверждение о том, что всякое множество обладает «большей реальностью», чем подмножество. Да, он постоянно помнил о грозной опасности.
Однако Кантор долго отмалчивался недаром, ибо его теория явилась перед ученым сообществом во всеоружии новых и, главное, фундаментальных понятий, на которых строится не какое-то фрагментарное, пусть и блестящее умозаключение, но вполне законченное здание цельного мировоззрения. Вместе со счастливо найденной общей идеей множества (уже ее запасов хватает, чтобы на протяжении почти века определять то, что называется теоретико-множественным стилем мышления) громадную роль несущих конструкций играют канторовские понятия мощности и порядкового типа множеств, а также понятие актуальной бесконечности. Мы будем говорить о них по необходимости кратко.
Представления о мощности (или кардинальном числе, кардинале) и типе (порядковом типе, или ординальном числе, ординале) произвольного множества появились у Кантора на пути дальнейшего совершенствования аппарата сравнения множеств и установления их эквивалентности. В области конечного такое сравнение легко делается посредством оценки количества элементов множеств (больше то множество, у которого большее количество элементов), но «когда мы поднимаемся в область бесконечного», говорил Кантор, понятие количества «как бы раскалывается» надвое — на понятие мощности и порядкового типа 23. Разница между ними лежит в степени отвлечения от характера элементов множества. Точнее, если в общем случае не принимается во внимание качественное наполнение множеств, природа их элементов, но важен приданный множествам порядок, то множества будут сравниваться по порядковому типу; если же отвлечение произведено и от порядка элементов (и тем самым уже не оставляется ни малейших следов качественности), то множества будут сравниваться по мощности. Два множества считаются эквивалентными, если они имеют одинаковую мощность, т. е. между их элементами устанавливается взаимно-однозначное соответствие без соблюдения порядка сравниваемых элементов. Так, эквивалентны множество цветов радуги и множество музыкальных тонов или — пример из списка первых математических подвигов Кантора — эквивалентны множество натурального ряда чисел и множество положительных рациональных чисел. Два множества считаются подобными, если они имеют одинаковый порядковый тип, т. е. при установлении однозначного соответствия множеств сохранен также порядок расположения их элементов. Так, подобны множество всех точек живописной картины и множество всех точек ее копии 24.
Как уже было сказано, кардиналы и ординалы в конечной области совпадают, поглощенные единым понятием количества, они присутствуют здесь как бы в потенции, в полную силу разворачиваясь лишь в области бесконечного. Они, выходит, перенесены из бесконечных сфер в область конечного для достижения идейной однородности, для демонстрации слитости общего устройства мира чисел. Кантор сделал еще один чрезвычайно важный перенос, теперь уже распространяя навыки работы с конечными множествами на поприще бесконечного. Он постулировал принципы порождения чисел, одинаково справедливые и в конечном и в бесконечном: с одной стороны, к уже образованному числу всегда можно добавить очередную единицу и, следовательно, можно продолжить ряд чисел по возрастанию; с другой стороны, всякому такому ряду можно выставить некий предел в виде такого числа, которое определяется как первое большее всех чисел данного ряда 25. Со вторым принципом порождения тесно связано еще одно фундаментальное понятие из лосевского перечня — актуальная бесконечность. До Кантора большинство математиков и философов признавало только потенциальную бесконечность, т. е. такую (строго говоря, единственную) бесконечность, которую нельзя «пощупать», нельзя охарактеризовать никаким определенным образом, например, числом. Единственное, что описывает «лик» такой бесконечности, так это ее безликая переменчивость, вечная устремленность куда-то. Потому в потенциальной бесконечности различимо разве что направление перемен, — как определил Кантор, либо рост «сверх всяких конечных границ», либо убывание «ниже всякой конечной границы малости» 26. С принятием же идеи актуально бесконечного (и привлечением вышеизложенного аппарата сравнения множеств) перед создателем теории множеств открылось нечто головокружительное: существует не одна-единственная бесконечность, да и то какая-то сомнительная, но целая иерархия бесконечностей различных классов 27, причем эта иерархия поддается достаточно строгому описанию. Открылась необъятная область, вместе с тем охваченная ясной структурой, буквально разверзлась область трансфинитного (мощности и типы порядков Кантор называл трансфинитными, т. е. сверхконечными числами), которая лежит «как бы на середине между абсолютною полнотою и конечным» (констатация Флоренского) и «заполняет обширную область возможного в познании Бога» (вторит ему Кантор) 28. Вспоминая известный афоризм Паскаля о человеке («среднее между всем и ничем») и комментируя канторовские результаты, Флоренский формулирует эту «срединность» еще и так:
«Если мы ничто перед Абсолютным, то все же мы — нравственно однородны с Ним, мы можем постигать Его <…>; мы носим в себе трансфинитное, сверх-конечное, мы — космос — не являемся чем-то конечным, прямо противоположным Божеству, мы — трансфинитны» 29.
Действительно, в содержании теории множеств (бесконечных множеств) можно указать важнейшие параллели научного опыта, здесь — опыта математического, и опыта религиозного. Только что было сказано о «нравственной однородности». Путь, по которому пошел Кантор вглубь (вдаль, ввысь) мира множеств и мира бесконечности, предстает действительно однородным и цельным. Для убедительности изложения этой характерной особенности Канторова пути мы можем взять на вооружение оценку, которой Кантор же расправлялся с нелюбезной ему идеей потенциально бесконечного: последнее, судил он, «имеет лишь отраженную реальность, всегда указывая на а<ктуально> б<есконечное>, благодаря которому оно лишь только и возможно». Да, к любому конечному числу всегда можно добавить очередную единицу, и эта нескончаемая череда указывает на целостный свой итог и возможна лишь как подступ к целому — актуальной бесконечности. Да, точно так же доступно увеличению актуально бесконечное, точно так же и трансфинитная череда указывает на новую целостную реальность в очередном ярусе иерархии бесконечностей. Да, нескончаемая последовательность все нарастающих и нарастающих актуальных бесконечностей указывает на новую целостность, Transfinitum отражает свет высшей реальности, Absolutum’а 30. Итак, устремленность и трезвление в мире нравственной жизни, нарастание величин и их ограничение сверху в мире абстрактных чисел — вот та параллель, что волновала ищущие умы от Кантора и Серапиона Машкина 31 до московских имяславцев. Ссылкой на характерные признания одного из последних мы и закончим эту часть наших заметок. В частности, в своих рассуждениях о природе личности и ее пределах (относятся к 1920-м, т. е. имяславским годам) В.Н. Муравьев дважды прибегал к «математическому сравнению» — сначала, когда он говорил о свойстве «расширения самоуглубляющейся личности» и ассоциировал его со способностью «математического ряда бесконечно умножаться и расширяться», и потом, когда подчеркивал, что «здесь мы имеем только половину задачи». Именно, писал Муравьев, в полном подобии с тем, как в деяниях математика