Страница 37 из 55
- Так что, если вы поищете волновое уравнение, которое приводит к таким матрицам, вам, вероятно, удастся легче справляться с ними.
По рассказу американца Эдварда Кондона, то были Макс Борн и Вернер Гейзенберг. А заканчивается этот рассказ так: «Оба теоретика решили, что услышали глупейший совет, ибо Гильберт просто не понял, о чем шла речь. Зато Гильберт потом с наслаждением смеялся, показывая им, что они могли бы открыть шрединге-ровскую волновую механику на шесть месяцев раньше ее автора, если бы повнимательней отнеслись к его, гильбертовым, словам».
На этом закончился первый этап развития квантовой механики. Несмотря на все успехи новой механики, оставался нерешенным главный вопрос: что же такое волновая функция, основной инструмент теории?
Координата или скорость?
В 1927 году Вернер Гейзенберг сделал важнейший шаг на пути к пониманию физического смысла новой механики. Анализируя возможности измерения координаты и импульса электрона, он пришел к заключению, что условия, благоприятные для измерения положения, затрудняют нахождение импульса и наоборот - в этом смысле эти два понятия дополнительны друг другу. Для доказательства он пользовался мысленными экспериментами. Вот краткая схема одного из таких экспериментов.
Для того чтобы определить положение электрона, нужно осветить его светом и посмотреть в «микроскоп». Такой способ определения координаты дает неопределенность del q порядка длины волны X использованного света: del q appr lambda.
Для уточнения положения электрона надо брать возможно меньшую длину волны света. Но это палка о двух концах. При взаимодействии с электроном свет передает ему импульс. Чтобы уменьшить передаваемый импульс, можно ослабить интенсивность света так, чтобы с электроном взаимодействовал один фотон. Минимальный передаваемый электрону импульс будет порядка импульса одного кванта, этот импульс связан с дли-
ной волны соотношением р=2pi h/lambda, поэтому неопреде-
ленность импульса электрона: del р›2pi h/lambda.
Умножая на lambda и подставляя del q вместо lambda, получаем:
del q del p ›2 pi h.
Это и есть соотношение неопределенности.
Попробуем измерить координату электрона другим способом - будем пропускать пучок электронов через отверстие в экране; плоскость экрана перпендикулярна пучку. Со светом такой опыт много раз делался, и хорошо известно, что получается. Если за отверстием поместить второй экран, то на нем мы увидим яркое пятно того же размера, что и отверстие, но края пятна будут размыты, пятно расширяется. Свет у краев отверстия загибается - это результат его волновой природы. Получится пучок световых лучей внутри некоторого угла. Этот угол - угол дифракции - равен teta=lambda/d,
где lambda - длина волны, ad - диаметр отверстия. Если расстояние от отверстия до второго экрана l, то радиус ди-
фракционного пятна будет R=l /teta ~ /lambda l /d.
Вокруг центрального пятна чередуются концентрические темные и светлые кольца, быстро убывающие по интенсивности.
Загибание световых лучей легко увидеть, если закрыть почти полностью свет лампочки линейкой, держа ее на вытянутой руке. Линейка покажется выщербленной в том месте, где проходит свет. Звуковые волны гораздо длиннее световых, и поэтому звук легко огибает препятствия.
Так как с электроном связан волновой процесс, аналогичная дифракционная картина получится и при прохождении через отверстие пучка электронов. В момент прохождения отверстия поперечная направлению пучка координата электрона будет определена с точностью del q~d, где d - диаметр отверстия.
Что будет по другую сторону экрана? По законам дифракции после прохождения отверстия получится пучок волн всех направлений, лежащих внутри дифракционного угла teta=lambda/d. Но теперь lambda - это длина волны электрона lambda = 2 pi h/ p, где р - импульс электрона в падающем пучке. Отклонение электрона от прежнего направления после прохождения отверстия означает, что электрон получил импульс отдачи del р в поперечном направлении, причем
Подставляя выражение для lambda и заменяя d на del q, получим опять соотношение Гейзенберга. Проделав большое число таких мысленных экспериментов с тем же результатом, нельзя не прийти к заключению, что мы имеем дело с принципиальным ограничением, которое природа накладывает на понятия координаты и импульса частицы. Этого ограничения не знала классическая физика - оно не вносит изменений в описание больших тел из-за малости h.
Соотношение неопределенности - частный случай и конкретное выражение общего принципа дополнительности, сформулированного Нильсом Бором в 1927 году (см. с. 46). Принципиальная неопределенность некоторых величин есть следствие применения классических понятий к описанию неклассических объектов, квантовая природа микрообъектов дополнительна к их классическому описанию. Но классическое описание результатов наблюдений неизбежно. Все измерительные приборы
166
обязательно классичны, при измерении недопустимы неопределенности, прибор должен давать определенное численное значение измеряемой величины. Особенности наблюдений квантовых объектов мы обсудим немного позже.
Физический смысл волновой функции
Вернемся к нашему опыту с отверстием в экране. Поставим далеко за экраном фотопластинку. Электрон, попадая на нее, вызовет почернение какого-либо зерна эмульсии, после чего его координата определится с точностью до размера зерна. Пучок электронов после дифракции на отверстии зачернит круг с радиусом R=1lambda/d. Теперь уменьшим интенсивность пучка электронов так, чтобы каждый электрон падал на пластинку, скажем, раз в минуту. После долгого ожидания получится та же картина, что и при интенсивном пучке. Но электроны падали поодиночке, значит, уже одному электрону следует приписать вероятность попасть в то или иное место. Уже для одного электрона эта вероятность распределена вблизи пластинки так, что она максимальна в центре, слегка убывает от центра к радиусу R, а затем за пределами дифракционного пятна начинает резко убывать.
Проследим, как осуществляется соотношение неопределенности в нашем опыте. На экран падают электроны с очень точно определенным импульсом - их поперечный импульс равен нулю, следовательно, поперечная координата полностью неопределенна - теперь мы можем сказать точнее: вероятность до прохождения отверстия найти электрон в любой точке экрана одинакова. После прохождения отверстия поперечный импульс делается неопределенным, зато поперечная координата становится более определенной. Вероятность найти электрон на фотопластинке вне дифракционного пятна мала, неопределенность поперечной координаты del q~R.
Анализ такого рода опытов привел Макса Борна (1926) к мысли, что волновая функция описывает вероятность того или иного значения координаты или импульса электрона в зависимости от типа поставленного опыта. При этом вероятность определяется квадратом волновой функции. Что помогло прийти к такому заключению?
Вспомним, что теория волновых явлений света - интерференции и дифракции - была разработана задолго до уравнений Максвелла, до того как была понята электромагнитная природа света. Предполагалось только, что источник света испускает волны неизвестной природы, а интенсивность света пропорциональна квадрату той величины, которая колеблется. В современном представлении колеблются во времени и пространстве электрические и магнитные поля и интенсивность света пропорциональна их квадрату. Но почти все волновые проявления не зависят от природы света.
Было естественно и для волн, связанных с частицами, считать, что есть некий волновой процесс, а интенсивность - в нашем случае вероятность - пропорциональна квадрату волновой функции.
Сначала предполагалось, что волновым свойствам частицы соответствует некое реальное физическое поле, подобное электромагнитному полю в световой волне.