Страница 23 из 34
Так что все явившееся на свет из античного бодрствования оказывается возвышенным до ранга действительного лишь посредством скульптурной ограниченности. Что невозможно начертить, не является «числом». Платон, Архит и Евдокс говорят о плоских и телесных числах, подразумевая наши вторую и третью степень, и само собой разумеется, что понятия более высоких целочисленных степеней для них не существовало. Четвертая степень представилась бы грекам, исходя из скульптурного основополагающего чувства, которое тут же связывает с этим выражением четырехмерную, причем материальную протяженность, полной нелепицей. Такое выражение, как e—ix, постоянно встречающееся в наших формулах, или применявшееся Николаем Оресмом уже в XIV в. 5 1/2, показалось бы им совершенным абсурдом. Евклид называет сомножители произведения сторонами (πλευραί). Исследование целочисленного отношения двух отрезков производится с помощью вычислений с дробями – конечными, что понятно само собой. Как раз поэтому и не может появиться представление о числе нуль, потому что у него нет никакого графического смысла. Не надо только, исходя из обыкновений нашего иначе устроенного мышления, выдвигать здесь то возражение, что это-то как раз и были «начальные ступени» в развитии математики «вообще». В рамках того мира, который создал вокруг себя античный человек, античная математика являет собой нечто вполне завершенное. Не такова она лишь для нас. Вавилонская и индийская математика уже давно сделали важными частями своих числовых миров то, что было бессмыслицей для античного числового ощущения, и многие греческие философы об этом знали. Математика «вообще», скажем это еще раз, – иллюзия. Математическое и вообще научное мышление тогда является истинным, убедительным, «мысленно неизбежным», когда оно всецело соответствует собственному чувству жизни. В противном случае оно невозможно, ложно, бессмысленно, или, как предпочитаем мы выражаться с высокомерием исторических умов, «примитивно». Современная математика, этот шедевр западного гения (разумеется, «истинная» лишь для него), представилась бы Платону смехотворным и праздным заблуждением, приключившимся в ходе попытки приблизиться к истинной математике, а именно к математике античной. Вне всякого сомнения, мы не можем даже и представить, сколь многому из великих идей чуждых культур мы дали погибнуть, потому что были не способны, исходя из нашего собственного мышления и его пределов, их усвоить либо, что то же самое, потому что воспринимали их как ложные, излишние или бессмысленные.
Античная математика как учение о наглядных величинах желает иметь дело исключительно с фактами чувственного и настоящего, и таким образом она ограничивает свои исследования, как и область своей применимости, примерами из сферы близкого и малого. Рядом с этой последовательностью в действиях в практическом поведении западной математики проступает нечто нелогичное, что, собственно, как следует признали лишь после открытия неевклидовых геометрий. Числа суть порождения отделенного от чувственного восприятия понимания, чистого мышления[48]. Свою абстрактную значимость они несут в себе самих. Напротив того, их точная применимость к действительности понимающего восприятия представляет собой особую проблему, причем такую, которая то и дело ставится вновь и никогда не получает удовлетворительного разрешения. Конгруэнтность математической системы с фактами повседневного опыта вовсе не разумеется сама собой. Несмотря на дилетантское предубеждение относительно непосредственной математической очевидности созерцания, как мы это находим у Шопенгауэра, евклидова геометрия, имеющая поверхностную тождественность с бытовой геометрией всех эпох, приблизительно согласуется с созерцанием лишь в очень узких пределах («на бумаге»). О том, как обстоит дело при больших отстояниях, говорит тот простой факт, что для нашего глаза параллельные на горизонте сходятся. На нем основана вся перспектива в живописи. Несмотря на это Кант, непростительным для западного мыслителя образом пасовавший перед «математикой дали», ссылается в виде примеров на фигуры, в которых как раз по причине их малости вовсе не может проявиться специфически западная, инфинитезимальная проблема пространства. Правда, Евклид также избегал того, чтобы для придания своей аксиоме наглядной убедительности сослаться, к примеру, на такой треугольник, углы которого помещаются в месте наблюдателя и на двух неподвижных звездах, ведь это не может быть ни вычерчено, ни «усмотрено», однако с точки зрения античного мыслителя это было правильно. Здесь о себе заявляло то же самое чувство, которое пугалось иррационального и не отваживалось на то, чтобы воспринять ничто как нуль, как число, а значит, чтобы сохранить символ меры, избегало неизмеримого также и в созерцании космических связей.
Аристарх Самосский, вращавшийся в 288–277 гг. в Александрии в кругу астрономов, несомненно поддерживавших связь с халдейско-персидскими школами и разработавший там ту гелиоцентрическую[49] систему мира, которая при ее повторном открытии Коперником затронула до самой глубины метафизическую страсть Запада (достаточно вспомнить Джордано Бруно), поскольку являлась исполнением колоссальных предчувствий и удостоверением того фаустовского, готического мироощущения, которое принесло жертву идее бесконечного пространства уже в архитектуре своих соборов, – этот самый Аристарх Самосский был воспринят античностью с полным безразличием и уже вскоре (можно было бы сказать – намеренно) забыт вновь. Круг его сторонников состоял из нескольких ученых, которые почти все происходили из Передней Азии. Самый известный его поборник Селевк (ок. 150) был из Селевкии на Тигре. В самом деле, для этой культуры Аристархова система не имела в душевном плане никакого значения. Она была скорее опасна ее мироощущению. И все же в отличие от системы Коперника (это решающее обстоятельство постоянно остается без внимания) благодаря той редакции, которая была ей придана, она точно соответствовала античному мироощущению. В качестве завершения космоса Аристарх принял всецело ограниченный телесно, пустой шар, который можно охватить оптическими средствами наблюдения, и в его середине находилась мыслившаяся по-коперникански планетная система. Античная астрономия всегда держала Землю и небесные тела за что-то принципиально разное, как бы ни воспринимались происходившие здесь движения в деталях. Подготовленная уже Николаем Кузанским и Леонардо идея, что Земля – лишь звезда в ряду прочих звезд[50], способна вписаться в Птолемееву систему ничуть не хуже, чем в коперниканскую. Однако с принятием концепции небесного шара был обойден угрожавший чувственно-античному понятию границы принцип бесконечного. Не возникает даже мысли о безграничном мировом пространстве, которая, казалось бы, неизбежна уже здесь, между тем как соответствующее представление далось вавилонскому мышлению еще давно. Наоборот. В своем знаменитом трактате «О числе песчинок» (как явствует уже из самого названия, это было опровержение инфинитезимальных тенденций, хотя его вновь и вновь рассматривают в качестве первого шага на пути к современным интегральным методам) Архимед доказывает, что если заполнить это стереометрическое тело – а ничем иным Аристархов космос не является – атомами (песчинками), это приведет к очень большим, но не бесконечным результатам. Однако это как раз и есть отрицание всего, что означает анализ для нас. Вселенная нашей физики представляет собой энергичнейшее отрицание всякой материальной ограниченности, как это доказывают неизменно терпящие крушение и тем не менее заново навязываемые уму гипотезы о материальном, т. е. мыслимом опосредованно созерцаемым мировом эфире. Евдокс, Аполлоний и Архимед, без сомнения наиболее изощренные и отважные математики античности, полностью осуществили чисто оптический анализ ставшего на основе скульптурно-античного граничного значения, прибегая главным образом к циркулю и линейке. Они пользуются продуманными и труднодоступными для нас методами интегрального исчисления, в которых проглядывает лишь видимое сходство с методом определенного интеграла Лейбница, и применяют геометрические места точек и координаты, представляющие собой исключительно именованные размерные числа и отрезки, а не, как это было у Ферма и прежде всего Декарта, неименованные пространственные отношения, значения точек по отношению к их положению в пространстве. Сюда относится в первую очередь метод исчерпания Архимеда[51] в его недавно открытом трактате, обращенном к Эратосфену, где он, например, обосновывает квадратуру сегмента параболы на исчислении вписанных прямых углов (больше уже не подобных многоугольников). Однако как раз остроумный, бесконечно запутанный способ, которым он, опираясь на некоторые геометрические идеи Платона, достигает результата, являет собой колоссальную противоположность этой интуиции и вроде бы на первый взгляд схожей интуиции Паскаля. Не существует (если всецело отвлечься от Риманова понятия интеграла) более резкой противоположности этому, чем то, с чем мы имеем дело в (к несчастью, называемых так и поныне) квадратурах, где «поверхность» дается как ограниченная функцией и уже даже речи нет о графических средствах. Нигде та и другая математика не подходит одна к другой так близко и нигде с большей отчетливостью не сказывается непреодолимый раскол между душами, выражениями которых они являются.
48
Ср. с. 509 сл.
49
Впрочем, в единственном уцелевшем от него сочинении он придерживается геоцентрической точки зрения, так что можно предполагать, что он дал халдейской ученой гипотезе овладеть собой лишь на время.
50
Strunz F. Gesch. d. Naturwiss. im Mittelalter (1910). S. 90.
51
Метод исчерпания Архимеда был подготовлен Евдоксом и использовался для вычисления объема пирамиды и конуса – «средство, к которому прибегали греки, чтобы обойти запрещенное понятие бесконечного» (Heiberg. Naturwiss. u. Math. im klass. Alt. (1912). S. 27).