Страница 6 из 36
1.1.16. В данной задаче исследуем, как изменится модель, если изменить количество времени, представленное приращением переменной на единицу. Важно отметить, что эта ситуация не всегда имеет биологический смысл. Например, для организмов, таких как многие насекомые, поколения не перекрываются. Дрозофилы не воспитывают себе преемников. Но время их размножения имеет регулярное распределение, поэтому использование приращения времени меньшее, чем промежуток между двумя последовательными временами рождения, было бы бессмысленным. Однако для более сложных организмов, таких как люди, с перекрывающимися поколениями и практически непрерывным размножением, нет естественного ограничения на выбор значения приращения времени. Таким образом, популяции иногда моделируются с «бесконечно малым» приращением времени (т.е. дифференциальными уравнениями, а не разностными). Эта ситуация иллюстрирует связь между двумя типами моделей: дискретная и континуальная.
Пусть популяция моделируется уравнением , , где каждое приращение на 1 представляет собой прохождение 1 года.
а. Предположим, что захотели создать новую модель для этой популяции, где каждое приращение на 1 представляет 0.5 лет, а численность популяции теперь обозначается . При этом хотим, чтобы новая модель описывала те же популяции, что и первая модель, с интервалом в 1 год (таким образом, ). Следовательно, составляется таблица 1.4. Заполните строку в таблице так, чтобы рост был все еще геометрическим. Затем предложите уравнение модели, выражающее через .
Таблица 1.4. Изменение временных шагов в модели
0 1 2 3
A 2А 4А 8А
0 1 2 3 4 5 6
A 2А 4А 8А
б. Задайте новую модель, которая описывает с интервалом в 1 год, обозначив размер популяции за , в которой приращение на 1 представляло бы 0.1 года (то есть ). Предлагается начать решение с создания таблицы, аналогичной таблице из части (a).
в. Предложите модель, которая согласуется с на интервале в 1 год, но описывает численность популяции , где приращение t на 1 представляет собой h лет (таким образом, ). Очевидно, что может быть больше или меньше 1; та же формула опишет любую ситуацию.
г. Обобщите части (а–в). Объясните, почему, если исходная модель использует приращение времени 1 год и задается уравнением , то модель, описывающая те же популяции с интервалом в 1 год, но использующая приращение времени лет, будет задана уравнением .
д. Если теперь изменить обозначение временного интервала с на , то пункт (г) показывает, что . Если считать бесконечно малым, то получим . Проиллюстрировать тот факт, что можно выбрав несколько значений при малом и сравнив значения с . Этот результат легко доказать формально:
.
д. Докажите, что решением уравнения при начальном условии является .
Как это согласуется с формулой для выражения через и в модели разностного уравнения ? Специалисты часто называют в каждой из выведенных выше формул «конечной скоростью роста», в то время как называется «собственной скоростью роста».
1.2. Нелинейные модели
Мальтузианская модель предсказывает, что рост числа обучаемых математиков будет экспоненциальным. Однако такое предсказание не может быть оставаться точным продолжительное время. Ведь экспоненциальные функции растут быстро и без ограничений; и, согласно такой модели, рано или поздно математиков окажется больше, чем количество атомов во Вселенной. Модель, разработанная в данном разделе, должна дополнительно учитывать какой-то важный фактор. Чтобы быть более реалистичными в моделировании, нужно пересмотреть предположения, которые вошли в модель.
Главный недостаток заключается в предположении о том, что параметры (доля выпускающихся молодых специалистов) и (доля уходящих на заслуженных отдых пенсионеров) для моделируемой численности одинаковы независимо от текущего значения (количество профессиональных математиков работоспособного возраста). На самом деле, когда число становится большим, из-за перенасыщения рынка интеллектуального труда разумно ожидать более высокий уровень и низкий . Комбинируя эти факторы, можно сказать, что по мере увеличения численности конечные темпы её роста должны уменьшаться. Поэтому нужно как-то модифицировать модель так, чтобы темпы роста зависели от текущей численности; то есть скорость роста должна зависеть от так называемой «плотности».