Страница 30 из 36
3
… …
Строки в таблице 2.2 описываются одной формулой . Это означает, что, когда начальный вектор является собственным вектором, моно вывести простую формулу для всех последующих значений . Заметим, что эта формула использует скалярную экспоненту точно так же, как было в соответствующей формуле из линейной модели главы 1. Единственное различие заключается в том, что экспонента умножается на собственный вектор начальных значений популяции, а не на единственное начальное значение популяции, используемое в главе 1.
Пример. Если модель леса с и вектор начальных значений , то получим . Таким образом, с увеличением времени компоненты вектора будут уменьшаться, хоть и довольно медленно, но до 0.
Есть, по крайней мере, два вопроса, которые вызывают лёгкое недоумение при первом изучении темы: 1) Поскольку численности групп в популяции не могут быть отрицательными, как в этой модели интерпретировать собственный вектор с отрицательными компонентами? 2) Как был найден собственный вектор ? Далее обратимся к первому из этих вопросов, а второй ожидает рассмотрения в следующем разделе.
Зададимся вопросом об интерпретации собственных векторов на примере лесной модели с матрицей , которая имеет два собственных вектора. Если начинать моделирование с численности популяции, которая не является одним из собственных векторов, то как тогда использовать собственные векторы, для описания динамики повеления модели?
Ключевая идея состоит в том, чтобы попытаться выразить начальный вектор значений численности популяции в терминах собственных векторов. В частности, учитывая начальный вектор популяции , найдём два скаляра, и , такие, что .
Задача эквивалентна решению матричного уравнения .
Заметим, что матрица, появляющаяся в этом уравнении, имеет собственные векторы матрицы в качестве своих столбцов. Составленное уравнение можно решить при условии, что такая матрица обратима. Итак, была проиллюстрирована 2 × 2- версия следующей теоремы.
Теорема. Пусть это -матрица, имеющая собственных векторов, образующих столбцы матрицы . Тогда, если обратима, то любой вектор представим линейной комбинацией собственных векторов.
Пример. Когда проводилось численное исследование модели леса, использовали исходный вектор популяции . Матрица собственных векторов равна . Чтобы решить уравнение , вычисляем . Таким образом, поучили . Следовательно, .
Техническое замечание: не каждая матрица имеет собственные векторы, которые можно использовать в качестве столбцов для формирования обратимой матрицы . Однако можно доказать, что если матрица не обладает свойством обратимости, то, изменив её элементы на «сколь угодно малую» величину, можно получить матрицу, которая будет обратимой. Более того, «почти все» матрицы в действительности обладают свойством обратимости – если генерировать матрицу случайным образом, то она с вероятностью близкой в 1 имеет свойство обратимости. Последствия этих фактов для применения теории собственных векторов к математическим моделям заключаются в том, что нет необходимости беспокоиться о недостаточном количестве хороших собственных векторов.
Теперь, когда пришло понимание, как выразить вектор начальных значений через собственные векторы, возникает естественный вопрос, где использовать это выражение? Пусть -матрица имеет собственных векторов , чьи собственные значения равны соответственно. Представим начальный вектор как . Тогда получим, . Но каждый член последнего выражения представляет собой результат умножения матрицы на собственный вектор, поэтому .
Теперь , и поскольку каждый член это опять-таки результат умножения матрицы на собственный вектор, получим . Продолжая умножение на , получаем общую формулу .
Понимание природы собственных векторов позволило найти формулу для вычисления значений в любой момент времени . Обратите внимание на сходство этой формулы с соответствующей для мальтузианской модели главы 1. Хотя есть несколько слагаемых, по своей совокупности каждое из них имеет простую экспоненциальную форму, которая уже знакома.
Пример. Для популяции, возникающей в ходе численного эксперимента с моделью леса, ранее уже представлялся . Теперь можно спокойно вычислить значение вектора при любом наперёд заданном .
Таким образом, найдена формула, дающая значения любой из строк в таблице 2.1, которые изначально получались в результате громоздких вычислений. Попробуйте выбрать несколько произвольных значений , чтобы убедиться в том, как получаются ровно те же результаты, которые ранее были занесены в таблице. Отметим также, что выведенные формулы дают возможность ясно понять, как именно популяция приближается к равновесию в точке по мере роста значений .