Страница 28 из 36
а. Сколько рождений в среднем доступно каждому члену зрелой группы за один временной интервал?
б. На сколько процентов уменьшается численность каждой группы в каждом временном интервале?
в. Предполагая, что незрелые не способны размножаться с течением времени, каково значение верхнего левого элемента матрицы ?
г. Что означает левый нижний элемент матрицы ?
2.2.6. Для модели из предыдущей задачи:
а. Найдите .
б. Пусть , найдите и .
2.2.7. Предположим, что структурированная популяционная модель имеет матрицу перехода , которая обратима.
а. В чем смысл матрицы ? Если вектор численности популяции умножить на эту матрицу, то что получится? Если вектор численности популяции умножить на , то что получится?
б. В чем смысл матрицы ? Если вектор численности популяции умножить на эту матрицу, то что получается?
в. Основываясь на ответах из частей (а) и (б), объясните, почему для любого положительного целого числа . Эта матрица часто обозначается как .
2.2.8. Модель, которую предложил Каллен в 1985 году, данные для которой собрали Неллис и Кит в 1976 году, описывает популяцию койотов. Динамика возрастных групп – щенок, сеголетка и взрослая особь – описывается матрицей c шаг времени 1 год. Объясните, каков смысл каждого элемента матрицы. Будьте внимательны при объяснении значения 0.11 в левом верхнем углу.
2.2.9. а. Покажите, что из не обязательно следует равенство вычислив и для , и .
б. Объясните, почему если и существует , то .
2.2.10. В отличие от скаляров, умножение которых коммутативно, для матриц как правило . Вместо этого, если обратные значения существуют, то .
а. Для и , без использования компьютера вычислите , и для проверки этих утверждений.
б. Выберите любые две другие обратимые 2 × 2 матрицы и , и для них убедитесь в том, что .
в. Выберите две обратимые матрицы 3 × 3 матриц и , и с помощью компьютера убедитесь, что .
2.2.11. Тождество можно доказать разными способами.
а. Объясните, почему . Почему это доказывает, что ?
б. Предположим, как и в первом разделе пройденной главы, что является матрицей перехода для популяции лесов в засушливый год, а – матрицей для влажного года. Затем, если первый год сухой, а второй влажный, имеем . Как выразить через ? Как найти зная ? Объедините полученные результаты, чтобы объяснить, как найти через . Как это доказывает, что ?
2.2.12. Пусть лес состоит из двух видов деревьев, и . Каждый год числа деревьев вида заменяются деревьями вида , в то время как деревьев вида заменяются деревьями вида . Численность остальных деревьев не меняется.
а. Пусть и обозначают количество деревьев каждого типа в год . Выразите и через и .
б. Запишите уравнения из пункта (а) в матричном виде.
в. Используйте пункт (б) для получения формулы, выражающей и через и .
г. Выразите и через и в матричной форме.