Страница 22 из 36
Если матрица имеет равное количество строк и столбцы, то она называется квадратной. Обратите внимание, что на самом деле нет никакой существенной разницы между вектором пространства и – матрицей, они даже записаны идентичным образом.
Матрицы (множественное число слова «матрица») обычно обозначаются заглавными буквами, такими как , или . Например, можно сказать, – это матрица перехода, для модели леса выше, поскольку её элементами являются числа, используемые для прогнозирования будущих популяций деревьев. И переписать модель леса в матричной форме записи так или просто . Немного опережая события модель была выражена в простой форме , которая очень похожа на линейные модели, рассмотренные в предыдущей главе. Остаётся понять, что имеется в виду, когда записывают , как матрицу, умноженную на вектор.
Определим так, чтобы уравнения в матричной форме записи и в виде системы линейных уравнения означали одно и то же. Другими словами, если естественным образом можно называть матрицы равными тогда и только тогда, когда равны их соответствующие элементы, то нужно получить .
Это приводит к следующему определению матричного умножения:
Определение. Произведением 2×2-матрицы на вектор из называется .
Вместо того, чтобы пытаться запомнить эту формулу, лучше поняться суть процесс матричного умножения: для получения элемента в -той строке -того столбца результата, необходимо умножить -тую строку первого множителя на -тый столбец второго множителя. Для умножения -той строки на -тый столбец вычисляется сумма произведений их соответствующих компонент, как при вычислении скалярного произведения векторов.
Если перемножаются матрицы большей размерности, чем 2 × 2, то действуют аналогичным способом. Заметим, что для нахождения произведения каждая строка матрицы первого множителя должна иметь столько компонент, сколько их в векторе столбце второго множителя. Это означает, если дан -вектор из и пытаемся его умножить слева на матрицу, то матрица должна иметь записей в каждой строке и, следовательно, иметь столбцов. Поскольку пока имеем дело в основном с квадратными матрицами, то будем использовать матрицы для умножения на вектор из .
Пример. .
Подумайте еще раз о лесе с двумя видами деревьев. Предположим, что приведенное выше описание того, как изменяется состав леса, происходит только во влажный год, поэтому мы переименуем матрицу перехода .
Если предположим, что в засушливые годы вид умирает с большей скоростью, то матрица перехода для таких лет может принять вид .
Вопросы для самопроверки:
– Что изменилось в этой матрице, почему оказалось так, что деревья имеют более высокую смертность в засушливые годы, чем во влажные годы? Фактически, всё, что изменили, это вероятность гибели дерева в сухой год, теперь она составляет 0,39. Остальные параметры остались такими же, как в исходной модели.
– Убедитесь, что если вероятность гибели дерева заменяется на 0,39, то получается приведенная выше матрица .
Предположим, что начальные популяции задаются вектором значений , как и прежде. Если первый год сухой, то .
Теперь предположим, что за сухом годом последует влажный год. Как это отразится на популяции? Так как , а , то . Последнее значение легко вычислить путем матричного умножения: .
Более интересный вопрос заключается в том, можно ли найти одну матрицу, умножение на которую моделирует совокупное влияние на популяцию засушливого года, за которым следовал дождливый год? Хотя и очевидно равенство , но существует ли матрица такая, что ?
Казалось бы, что может быть проще, для нахождения достаточно переставить скобки в уравнении , записав его в виде , тогда искомая матрица . Но для этого предстоит научиться перемножать две матрицы и так, чтобы всегда новая матрица была определена, причем матричное умножение должно обладать свойством ассоциативности. Как же выглядит эта матрица ? Вместо того, чтобы экспериментировать на конкретных числах, введём обозначения , , . Таким образом , , , . Подставив и в и , получим , , или после перестановки, , . Что в матричной форме записи примет вид . Это указывает на то, как нужно определить произведение двух матриц: