Страница 14 из 36
Рисунок 1.7 Результаты роста значения , полученные из двух близких начальных значениях для логистической модели при .
Обратите внимание на тот факт, что, хотя популяции и изменяются похожим образом в течение нескольких первых шагов, после этого они становятся полностью различимыми. В результате для такой пары значений наблюдается чрезвычайная чувствительность модели к начальным условиям. Конечно, это не является доказательством чего-либо, и вполне возможно, что такое поведение было просто последствием череды ошибок компьютерного округления. Однако математиками строго доказано, что это подлинный «хаос».
Возможность хаотического поведения в такой простой популяционной модели, как дискретная логистическая, вызвала большой ажиотаж в 1970-х годах, когда она была впервые опубликована в работе Мэй от 1978 года. Если бы такая простая модель смогла воспроизводить сложное поведение любой динамической системы, то от гипотезы о том, что сложная динамическая система может возникать лишь из сложных взаимодействий и флуктуаций окружающей среды пришлось бы отказаться. Дальнейшая работа Мэй с сотоварищами по вычислению соответствующих значений таких параметров, как , в математических моделях на основании лабораторных и реальных популяциях насекомых заставила их усомниться в том, что хаотическое поведение действительно наблюдается в реальной динамике живых популяций. Тем не менее, исследование эпидемий кори в Нью-Йорке действительно предполагало возможность контролируемого хаоса. Однако эпидемический паротит и ветряная оспа, как оказалось, вели себя отнюдь не хаотично. Хотя та работа все еще не теряет актуальности, существует очень мало данных высокого качества и достаточно длительной продолжительности, чтобы в действительности проверить ключевую идею. В последнее время основное внимание уделялось демографическим моделям, более сложным, чем логистические. Фактически, в 1996 году Кушинг и др. объявили о первом открытии реальной популяции, лабораторной популяции мучного жука триболия, которая демонстрировала хаотическую динамику и опубликовали этот результат в 2001 году.
Задачи для самостоятельного решения:
1.3.1. Точки равновесия модели располагаются там, где график зависимости от пересекает прямую линию . Предположим, что фокусируемся на участке графика вокруг точки равновесия и увеличиваем масштаб так, чтобы график функции от казался прямой линией. В каждой из моделей, показанных на рисунке 1.8, решите, является ли равновесие стабильным или нестабильным, выбрав значение близкое к устойчивому состоянию, а затем изобразите паутинную диаграмму.
а.
б.
в.
г.
Рисунок 1.8. Заготовки паутинных диаграмм для задачи 1.3.1.
1.3.2. Исходя из приведенной выше задачи, в каком диапазоне должен находиться наклон графика функции от в точке равновесия, чтобы обеспечить стабильность? Неустойчивость? Подсказка: возможно, захотите подумать об особых случаях, взяв наклон сначала −1, а затем 1.
1.3.3. Средствами математического анализа сформулируйте ответ на предыдущую задачу на языке производных: если является точкой равновесия модели , то она стабильна, когда выполнено следующее условие _________________ .
1.3.4. С точки зрения математики, имея дело с логистической моделью роста , всегда можно выбрать единицы, в которых измеряется так, чтобы .Таким образом, можно рассматривать уравнение , имеющее только один параметр , а не два. Исследуйте долгосрочное поведение этой модели для различных значений , начиная с .5 и постепенно увеличивая его, используя программу onepop.m для MATLAB из задачи 1.2.4. При каких значениях обнаруживается сходимость к равновесию без колебаний? А при каких сходимость к равновесию осуществляется с колебаниями? При каких появляется 2-цикл? А при каких – цикл длины 4?
1.3.5. В предыдущем упражнении обнаружили, что по мере увеличения после значения 2 популяция перестанет стремиться к и вместо этого попадет в цикл длины 2 и более.
а. Покажите, что, несмотря на срыв модели в 2-цикл, единственными точками равновесия по-прежнему являются и 1.
б. Если попадает в 2-цикл, то . Поэтому, возможно, стоит найти формулу для выраженного через . Сделайте это для и . Ответ должен оказаться многочленом четвертой степени.
в. Можно ли использовать полученные результаты из части (б) для поиска аналитических формул точек равновесия в 2-цикле, приравняв ? Попробуйте. Не всё может получиться с первого раза, но, по крайней мере, попробуйте объяснить те сложности, с которыми столкнулись.
1.3.6. Для каждого из следующих пунктов определите точки равновесия.
а.
б.
в.
г.