Деление на ноль

  Карл попытался зайти с другой стороны.

  — Подожди. Ты только что упомянула мнимые числа. Почему твои выкладки хуже их? Когда-то математики считали, что они не имеют смысла, а сейчас они приняты как азы. Ситуация та же.

  — Не та же! Там решение заключалось в расши­рении контекста, а здесь это ничего не даст. Мни­мые числа привнесли в математику нечто новое, а мой формализм пересматривает уже существующее.

  — Но если изменить контекст, посмотреть на это в другом свете...

  Она закатила глаза.

  — Нет! Это следует из аксиом с такой же непре­ложностью, как сложение; это никак не обойдешь. Поверь моему слову.

7

  В 1936 году Герхард Гентцен привел доказатель­ство полноты арифметики, но для этого ему при­шлось прибегнуть к некоему спорному методу, изве­стному как бесконечная индукция. Эта последняя не относилась к обычным методам доказательства и ка­залась мало уместной как гарантия непротиворечи­вости арифметики. Гентцен всего лишь доказал оче­видное, допустив сомнительное.

7 a

  Из Беркли позвонил Каллаган, но не смог пред­ложить избавления. Он сказал, что и дальше будет изучать ее работу, но, похоже, она наткнулась на что-то фундаментальное и тревожное. Он хотел знать, планирует ли она опубликовать свой теоре­тический формализм, поскольку если он содержит ошибку, которую не может найти ни один из них, в математическом сообществе обязательно отыщутся те, кто сможет.

  Рене едва в силах была слушать его голос и пробормотала, что еще с ним свяжется. В послед­нее время, особенно после ссоры с Карлом, ей ста­ло трудно разговаривать с людьми. Остальные на факультете начали ее избегать. Она не могла ни на чем сосредоточиться, а прошлой ночью ей при­снился кошмар, в котором она открыла форма­лизм, позволяющий переводить произвольные ут­верждения в математическое выражение, и тогда она доказала, что жизнь эквивалентна смерти.

  Вот это ее напугало: возможность того, что она теряет рассудок. Она определенно утратила ясность мысли, то есть уже подошла достаточно близко.

  «Ну что ты за идиотка, — одернула она себя. — Разве Гёдель покончил с собой, доказав свою Тео­рему о неполноте?»

  Но это была красивая, вдохновенная, одна из самых элегантных теорем, какие Рене когда-либо видела.

  Ее собственное доказательство насмехалось над ней, издевалось. Как головоломка в детской книжке, она говорила: «Вот тебе, ты проглядела ошибку, по­смотрим, сумеешь ли ты найти, где облажалась, — а потом поворачивалась и говорила: — Опять попа­лась».

  Она воображала, как Каллаган обдумывает, ка­кие последствия будет иметь ее открытие для мате­матики. Большая часть математики не имела практического применения: она существовала исключи­тельно как формальная теория, которой занимают­ся ради ее интеллектуальной красоты. Но это так не останется: теория, которая внутренне противоречи­ва, настолько бессмысленна, что большинство ма­тематиков с отвращением ее отбросят.

  Впрочем, по-настоящему приводило Рене в ярость то, что ее предала собственная интуиция. Проклятая теорема имела смысл, на собственный извращенный лад воспринималась как праведная. Рене ее понимала, знала, почему она истинна, верила в нее.

7b

  Карл улыбнулся, вспомнив ее день рождения.

  «Глазам своим не верю! Откуда ты мог знать?»

  Она сбежала по лестнице, прижимая к груди свитер.

  Прошлым летом они провели отпуск в Шотлан­дии, и в одном магазинчике в Эдинбурге был сви­тер, с которого Рене глаз не сводила, но не купила. Он заказал его по каталогу и вчера вечером подложил в ящик гардероба, чтобы она нашла его наутро.

  «Ты вся как на ладони», — пошутил он. Они оба знали, что это неправда, но ему нравилось ей так говорить.

  Это было два месяца назад. Всего два месяца назад.

  Теперь же ситуация требовала сменить темп. Карл пошел в ее кабинет — Рене сидела в кресле у стола, смотрела в окно.

  — Угадай, что я придумал?

  Она подняла глаза.

  -Что?

  — Заказал на выходные номер в Билтморе. Смо­жем расслабиться и решительно ничего не делать.

  — Перестань, пожалуйста, — сказала Рене. — Я знаю, чего ты добиваешься, Карл. Ты хочешь, что­бы мы занялись чем-нибудь приятным, чтобы я отвлеклась от этого формализма. Но не получится. Ты даже не знаешь, как он меня зацепил.

  — Да ладно, ладно. — Он потянул ее за руки, чтобы поднять из кресла, но она отстранилась. Карл постоял немного, как вдруг она повернулась и по­смотрела ему прямо в глаза.

  — Знаешь, у меня даже появилось искушение начать принимать барбитураты. Я почти жалею, что не слабоумная, тогда я могла бы об этом не думать.

  Это застало его врасплох.

  Не зная, что теперь делать, он сказал:

  — Но почему бы тебе хотя бы не попытаться на время уехать? Вреда тут никакого, а ты, может быть, отвлечешься.

  — От этого нельзя отвлечься. Ты просто не по­нимаешь.

  — Так объясни мне.

  Выдохнув, Рене отвернулась, чтобы немного подумать.

  — Как будто, куда ни посмотри, все кругом кричит мне о противоречиях, — сказала она. — Теперь я все время устанавливаю равенства между числами.

  Карл молчал. Потом с внезапным озарением сказал:

  — Как традиционные физики, когда столкну­лись с квантовой механикой. Словно теорию, в ко­торую ты всегда верила, подменили, и новая кажет­ся бессмысленной, но почему-то все данные ее под­тверждают.

  — Нет, совсем не так. — Ее отказ прозвучал почти презрительно. — Доказательства тут ни при чем, это все a priori[2] .

  — И в чем же тут разница? Разве твои построе­ния не являются доказательством?

  — Господи, ты что, шутишь? Это разница меж­ду присвоением единице и двойке одного и того же значения и интуитивным пониманием. Я больше не могу держать в уме понятие четко разграниченных количеств, мне все кажутся одинаковыми.

  — Я не о том говорил» — сказал он. — На самом деле никто не может испытывать, это как поверить в шесть невозможных вещей до завтрака.

  — Откуда ты знаешь, что я могу испытывать?

  — Я пытаюсь понять.

2

априори, заранее, до опыта (лат.). — Примеч. пер.