Страница 13 из 17
Прежде всего я спрошу математиков, что они подразумевают, когда говорят, что одна линия или поверхность равна, больше или меньше другой? Пусть ответит на это любой из них независимо от того, к какой секте он принадлежит и придерживается ли он теории, согласно которой протяжение состоит из неделимых точек или же из количеств, делимых до бесконечности. Вопрос этот приведет в смущение сторонников той и другой теории.
Математиков, защищающих гипотезу неделимых точек, либо немного, либо совсем нет, а между тем они-то и могут дать самый легкий и верный ответ на указанный вопрос. Им нужно только ответить, что линии или поверхности равны, когда число точек в каждой из них равно, и что с изменением соотношения между числом точек изменяются и соотношения между линиями и поверхностями. Но, несмотря на точность, а равно и очевидность этого ответа, я все же могу утверждать, что такое мерило равенства совершенно бесполезно и что мы никогда не определяем взаимного равенства или неравенства объектов на основании подобного сравнения. Ввиду того что точки, входящие в состав любой линии или поверхности, независимо от того, воспринимаются ли они зрением или осязанием, так малы и так смешаны друг с другом, что ум совершенно не в состоянии сосчитать их число, подобное счисление никогда и не пригодится нам в качестве мерила суждения о соотношениях. Никто никогда не будет в состоянии определить с помощью точного подсчета, что в дюйме меньше точек, чем в футе, или что в футе их меньше, чем в эле или какой-нибудь большей единице меры; в силу этого мы редко и даже никогда не признаем этот подсчет мерилом равенства или неравенства.
Что же касается тех, кто воображает, что протяжение делимо in infinitum, то они совершенно не могут воспользоваться указанным ответом, т. е. определить равенство какой-нибудь линии или поверхности с помощью подсчета ее составных частей. Ведь, согласно их гипотезе, как наименьшие, так и наибольшие протяженности содержат в себе бесконечное число частей; бесконечные же числа, собственно говоря, не могут быть ни равными, ни неравными друг другу, а значит, равенство или неравенство каких угодно долей пространства вовсе не может зависеть от соотношения числа их частей. Можно, правда, сказать, что неравенство между элем и ярдом состоит в различных числах составляющих их футов, а неравенство фута и ярда – в числе составляющих их дюймов. Но так как та величина, которую мы называем дюймом в одном случае, предполагается равной той, которую мы называем дюймом в другом, и так как для ума оказывается невозможным определить это равенство путем продолжения in infinitum подобных ссылок на меньшие величины, то очевидно, что в конце концов мы должны установить некоторое мерило равенства, отличное от перечисления частей.
Некоторые[9] утверждают, что равенство лучше всего определяется как совпадение и любые две фигуры бывают равны, когда при наложении одной на другую все их части соответствуют друг другу и взаимно соприкасаются. Чтобы оценить это определение по достоинству, примем во внимание, что равенство, будучи отношением, строго говоря, не является свойством самих фигур, а происходит исключительно от сравнения, которому подвергает их ум. Таким образом, если равенство состоит в этом воображаемом сопоставлении и взаимном соприкосновении частей, то мы должны по крайней мере иметь отчетливое представление об этих частях и представлять себе их соприкосновение. Однако ясно, что при подобном представлении мы будем сводить эти части к самой малой величине, какая только может быть представлена, так как соприкосновение крупных частей еще не делает фигур равными. Но самыми малыми частями, какие мы только можем представить, являются математические точки, а следовательно, данное мерило равенства тождественно тому, которое основано на равенстве числа точек и которое мы уже определили как правильное, но бесполезное. Итак, мы должны искать какое-нибудь иное решение данного затруднения.
Многие философы отказываются указать какое бы то ни было мерило равенства и утверждают, что достаточно показать два равных объекта, чтобы дать нам верное представление об этом соотношении. Всякие определения, говорят они, бесплодны без восприятия подобных объектов; а если мы воспринимаем такие объекты, нам не нужно больше никакого определения. Я совершенно согласен с этим рассуждением и утверждаю, что единственное полезное представление о равенстве или неравенстве получается на основании общего вида отдельных объектов, рассматриваемых целиком, и на основании сравнения их.
Очевидно, что глаз, или вернее ум, часто способен с первого взгляда определить соотношения тел и решить, равны ли они друг другу, или же одно из них больше либо меньше другого, – решить, не рассматривая и не сравнивая числа их минимальных частей. Такие суждения не только обычны, но во многих случаях достоверны и безошибочны. Когда нам показывают такие меры, как ярд и фут, то ум точно так же не сомневается в том, что первый больше второго, как он не сомневается в самых ясных и самоочевидных принципах.
Таким образом, существуют три соотношения, различаемые умом на основании общего вида объектов и обозначаемые с помощью названий больше, меньше, равно. Но хотя решения ума касательно указанных соотношений иногда безошибочны, это не всегда так; и наши суждения по данному поводу так же мало свободны от сомнений и ошибок, как суждения о любом другом предмете. Мы часто исправляем свое первоначальное мнение с помощью критики и размышления, объявляя впоследствии равными те объекты, которые сперва признавали неравными, или же признавая, что какой-нибудь объект меньше другого, тогда как раньше он казался нам больше последнего. И это не единственное исправление, которому подвергаются указанные суждения, [полученные на основании] наших ощущений: мы часто открываем свою ошибку путем приложения объектов друг к другу, а там, где оно неприменимо, – с помощью некоторой общепринятой и неизменной меры, которая, будучи последовательно приложена к каждому объекту, знакомит нас с различными соотношениями этих объектов. Но даже и это исправление допускает новое исправление, достигающее различных степеней точности в зависимости от природы того инструмента, с помощью которого мы измеряем тела, и от той тщательности, с которой мы их сравниваем.
Таким образом, когда ум привыкает к этим суждениям и к их исправлению и находит, что то же самое соотношение, которое придает двум фигурам на глаз вид того, что мы называем равенством, заставляет эти фигуры соответствовать как друг другу, так и любой общепринятой мере, с помощью которой они сравниваются, – мы образуем смешанное представление о равенстве, основанное как на менее, так и на более точных методах сравнения. Но мы не удовлетворяемся этим. Поскольку здравый смысл убеждает нас в том, что существуют тела гораздо меньшие, а ложное рассуждение готово уверить нас в том, что существуют тела и бесконечно меньшие, чем те, которые воспринимаются чувствами, мы ясно видим, что не обладаем таким инструментом или таким искусством измерения, которое могло бы оградить нас от всякой ошибки и неопределенности. Мы сознаем, что прибавление или устранение одной из таких минимальных частей не заметно ни при наблюдении (appearance), ни при измерении, а так как воображаем, что две фигуры, которые были раньше равными, уже не могут быть таковыми после подобного устранения или прибавления, то и предполагаем некоторое воображаемое мерило равенства, с помощью которого точно исправляются как первоначальные общие наблюдения, так и измерения, фигуры же полностью сводятся к указанному соотношению. Мерило это чисто воображаемое. Ведь если сама идея равенства есть идея отдельного наблюдения, исправленного с помощью наложения или с помощью общепринятой меры, то понятие о таком исправлении, для которого у нас не хватает ни инструментов, ни искусства, является простой фикцией нашего ума, бесполезной и непонятной. Но если это мерило чисто воображаемое, то сама фикция весьма естественна: ведь для ума нет ничего более обычного, чем продление некоторого акта даже по исчезновении того основания, которое сперва побудило его приступить [к данному акту]. Это очень ясно видно на примере времени: очевидно, что хотя у нас нет для определения соотношения его частей метода, равного по точности хотя бы такому методу, который мы применяем к протяжению, однако даже и здесь различные исправления наших мер и различные степени их точности дают нам неясное и нераскрытое понятие о совершенном и полном равенстве. То же наблюдается и во многих других областях. Музыкант, замечая, что его слух делается с каждым днем все тоньше, и исправляя себя с помощью размышления и внимания, продолжает производить то же самое действие ума, даже когда у него уже нет надлежащего материала, и образует понятие совершенной терции или октавы, не будучи в состоянии сказать, откуда он берет этот образец. Художник образует такую же фикцию по отношению к цветам, механик – по отношению к движению. В воображении одного свет и тени, в воображении другого скорое и медленное допускают такое точное сравнение и достигают такого равенства, которые недоступны суждениям наших чувств.
9
Барроу. Математические лекции.