Страница 3 из 5
Вернемся наконец к доказательству гипотезы Коллатца. Его не существует, и, по правде говоря, я знаю множество способов заработать 500 долларов, гораздо более простых, чем возня с этой задачей.
Загадка шахматной доски
Я несколько сомневался, говорить ли о следующей загадке. На самом деле она очень проста. Тем не менее после бурного спора с самим собой я решил все-таки рассказать о ней, потому что она весьма знаменита, причем и сама загадка, и ее решение замечательно красивы.
Рассмотрим сетку размером 8 × 8 ячеек.
Очевидно, всю эту сетку легко покрыть 32 костяшками домино размером 1 × 2 ячейки. А теперь уберем две клетки, расположенные в противоположных углах.
Можно ли покрыть получившуюся сетку всего 31 костяшкой?
Мои друзья (все они не математики, но по большей части люди весьма умные) в большинстве своем уверены, что можно, – нужно только сообразить, как именно их следует расположить.
Но правильный ответ на этот вопрос – «нет». Что бы мы ни делали, 31 костяшка домино не может покрыть сетку с удаленными противоположными угловыми клетками.
Почему это так, немедленно становится ясно, если взять вместо такой незакрашенной сетки черно-белую шахматную доску.
Как видно на рисунке, каждая костяшка домино может закрыть одну черную клетку и одну белую; поэтому 31 костяшка может закрыть в точности 31 белую клетку и 31 черную. Поскольку две клетки, удаленные с доски, одного и того же цвета – белые, – в обрезанной доске осталось 30 белых клеток и 32 черные. Много лет назад, когда я учился на математическом факультете в Тель-Авиве, я вел для «интересующейся наукой молодежи» курс под названием «Парадоксы, загадки и числа». Я давал эту задачу молодым слушателям своего курса. Каждый раз происходила одна любопытная вещь. Многие ученики решительно не соглашались с доказательством, которое показывает, что 31 костяшка домино не может покрыть доску с удаленными противоположными угловыми клетками. Интересно отметить, что в их число входили и ученики, казалось бы, вполне понимавшие объяснение этого доказательства; тем не менее они упорно раскладывали костяшки домино так и эдак, стараясь покрыть эту самую доску с обрезанными углами. Я даже не пытался убедить их в бессмысленности этого занятия – каждый должен учиться на собственных ошибках.
История учит нас, что люди и народы ведут себя мудро после того, как они исчерпают все остальные возможности.
Докажите, что, если из шахматной доски удалить любые две клетки разных цветов, все оставшиеся клетки всегда можно покрыть 31 костяшкой домино.
Бесконечные крестики-нолики
Когда я учился в начальной школе в Литве, в своем родном Вильнюсе, одним из самых значительных моих достижений было обретение виртуозного умения играть на уроках в стратегические игры с карандашом и бумагой и не попадаться учителям. Моей любимой игрой был бесконечный вариант крестиков-ноликов. Эта игра не раз спасала меня от скуки на занятиях, на которых меня заставляли сидеть.
Позвольте объяснить вам правила игры.
Вы, несомненно, знакомы с обычными крестиками-ноликами, в которые играют на поле размером 3 × 3 клетки. Эта игра подходит для детей лет до шести. После этого возраста каждая партия должна неизменно заканчиваться вничью, если только один из игроков не заснет в процессе игры (что, бесспорно, возможно, учитывая, насколько эта игра скучна).
В бесконечном варианте играют на бесконечном поле, и каждый игрок стремится выстроить ряд из пяти крестиков или ноликов. Как и в исходном варианте, ряд может быть горизонтальным, вертикальным или диагональным. Игроки по очереди ставят на поле крестики и нолики, и первый, выстроивший ряд из пяти своих символов, считается победителем.
a)
б)
a) У ноликов нет хода, который позволил бы заблокировать две «открытые» тройки крестиков; нолики проигрывают
б) Пример еще одной партии, которую только что выиграли крестики
В начальной школе, когда я «открыл» эту игру, я думал, что сам ее и изобрел, но впоследствии узнал, что это не так: существует игра под названием «гомоку», очень похожая на бесконечные крестики-нолики. Она особенно популярна в Японии и Вьетнаме. Слово го означает по-японски «пять».
Вы наверняка слышали об игре го. Однако, хотя в гомоку часто играют на такой же доске, какую используют для этой прославленной великой игры, между ними нет никакой связи. Го – древняя китайская игра, которая даже упоминается в «Аналектах»[2] Конфуция. Поскольку она попала на Запад через Японию, мы используем ее японское название, но, как я уже сказал, го – это не гомоку[3]{2}.
Несмотря на тот опыт, который я накопил, играя на уроках – а иногда и на переменах (хотя на переменах играть не так интересно – потому что это не запрещено!), я не мог понять, всегда ли игрок, начинающий первым (то есть играющий крестиками), выигрывает, если он применяет правильную стратегию, независимо от того, как играет его противник, или же партия всегда заканчивается вничью (точнее, не может закончиться никогда), если оба ее участника играют правильно. Интуиция подсказывала мне, что должна существовать какая-то стратегия, обеспечивающая победу игроку, делающему первый ход в партии.
По совести, я должен признаться, что не играл в эту игру уже несколько десятков лет. Я вспомнил о ней, когда писал эту книгу. Но вопросы о стратегических аспектах игры и о существовании некой выигрышной стратегии занимают меня до сих пор. Я даже готов поспорить, что такая выигрышная стратегия существует. Когда я буду старше и у меня будет больше свободного времени, я собираюсь всерьез заняться поисками этой стратегии, но, пока эти мои планы относятся к отдаленному будущему, вы вполне можете попытаться найти ее раньше меня и избавить меня от этой работы.
Монах и его задача{3}: взгляд с обеих сторон
Однажды ранним утром, на самом восходе солнца, старый буддийский монах начал подниматься по крутому и извилистому горному склону к монастырю, стоявшему на вершине. Монах взбирался по узкой, извивающейся тропе – единственному пути в монастырь. Подъем был поистине изнурительным.
Он шел то быстрее, то медленнее, время от времени останавливаясь передохнуть, бормоча мантры, а иногда задерживаясь, чтобы немного поесть или попить воды. До монастыря на вершине он добрался в тот самый момент, когда солнце начинало садиться. Старый монах провел в монастыре несколько дней, уча молодых монахов о сострадании, о Четырех благородных истинах, о шуньяте (пустотности), об иллюзорности самосознания, о сансаре и страдании, о карме и спокойствии, о Благородном восьмеричном пути, об учении Нагарджуны и о желании избавиться от желаний.
2
Китайское название – «Лунь юй», первая из четырех книг конфуцианского канона. В русских переводах называется также «Беседы и суждения». – Здесь и далее, если не указано иное, постраничные примеч. перев.
3
Более того, даже кажущееся сходство названий этих игр случайно. Го моку означает по-японски «пять камней». Название же игры го происходит от слов и-го, японского перевода китайского названия вэй-ци, которое традиционно переводится на русский как «облавные шашки».
2
Го – это абстрактная стратегическая настольная игра для двух игроков, задача которых – окружить большую территорию, чем противник. Эта игра требует стратегического и тактического мастерства и большой наблюдательности. Гомоку (которую называют также «гобан», или «пять в ряд») – тоже абстрактная стратегическая настольная игра, и в нее традиционно играют шашками («камнями») для го на доске для го размером 15 × 15 или 19 × 19 клеток. Однако задача участника этой игры – первым выстроить ряд из пяти шашек. В эту игру также можно играть с карандашом и бумагой.
3
Впервые я увидел эту задачу о восхождении монаха в книге Мартина Гарднера «Мои лучшие математические и логические головоломки» (My Best Mathematical and Logical Puzzles, 1994). Это чрезвычайно увлекательная маленькая книжка.