Страница 7 из 8
Математику волнуют не вещи, а идеи.
Математика устанавливает правила, а затем путем тщательных рассуждений прослеживает, что следует из этих правил. Кого волнует, что полученные выводы – о бесконечно длинных конусах и сардельках в 42 измерениях – не имеют отношения к реальности? Важна их абстрактная истинность. Математика живет не в материальной вселенной естествознания, а в концептуальной вселенной логики.
Математики называют такую работу творческой. Они сравнивают ее с искусством.
Естествознание становится их музой. Представьте себе композитора, который слушает щебет птиц и вплетает эту мелодию в свой новый опус. Или художника, которые созерцает кучевые облака, дрейфующие по полуденному небу, и на основе этого образа рисует свой новый пейзаж. Люди искусства не стремятся запечатлеть вещи с фотографической точностью. Реальность для них не более чем благодатный источник вдохновения.
Точно так же видит мир и математика. Реальность – прекрасная отправная точка, но самые поразительные цели лежат далеко за ее пределами.
3. Парадокс математики
Математика видит в себе мечтательную поэтессу. С точки зрения естествознания математика – это поставщик специальных технических инструментов. Здесь мы сталкиваемся с одним из величайших парадоксов человеческого познания: оба взгляда верны, но их с трудом можно примирить друг с другом. Если математика – это не более чем поставщик инструментов, почему эти инструменты настолько поэтичны? И если она поэтесса, почему ее поэзия так неожиданно полезна?
Чтобы понять, что я имею в виду, обратимся к запутанной истории теории узлов[25].
Эта отрасль математики, как и многие другие, была вдохновлена естественно-научной задачей. До открытия атомов некоторые ученые (включая лорда Кельвина) придерживались мнения, что вселенная наполнена субстанцией под названием «эфир», а материя создана из узлов и клубков эфира. Они стремились к тому, чтобы классифицировать все возможные узлы и создать периодическую таблицу клубков.
Вскоре физики утратили интерес к этой идее, поглощенные новой блестящей теорией атомов[26] (ее несправедливое преимущество заключалось в том, что она была верна[27]). Но математики уже попались на крючок. Они обнаружили, что классификация узлов – сладостная и дьявольская задача. Две разновидности одного и того же узла могли выглядеть совершенно по-разному. Абсолютно отличающиеся друг от друга узлы поражали своим сходством. Это было отличной подпиткой для математиков, которые скоро разработали сложную и исчерпывающую теорию узлов, будучи уверены, что их интеллектуальная абстракция не имеет никакого практического применения.
Прошло около ста лет.
И вот из укрытия выползла настоящая змея. Как вы знаете, каждая биологическая клетка содержит информацию в молекуле ДНК, которая фантастически длинна. Если выпрямить ДНК одной клетки вашего организма, она растянется почти на два метра. В 100 000 раз длиннее самой клетки.
ДНК – это длинная струна, упакованная в миниатюрный контейнер. Если вы когда-нибудь клали наушники в карман или вынимали новогоднюю гирлянду из картонной коробки, вы знаете, что их необходимо свернуть в клубок. Как это удается бактерии? Можем ли мы выучиться у бактерии такому трюку? Можем ли обезвредить раковую клетку, расплетая ее ДНК?
Биология была в недоумении. Ей требовалась помощь. «О! – воскликнула математика. – Я знаю одну штуку!»
Вот краткая биография теории узлов[28]. Она родилась из практических нужд. Вскоре она превратилась в нечто абсолютно оторванное от практики, логическую игру для поэтов и философов. А дальше каким-то образом это творение, которое на протяжении многих лет, казалось, не имело никакого отношения к реальной жизни, стало чрезвычайно полезным совершенно не в той области, ради которой оно родилось.
Это не единичный случай. Это обычная схема в истории математики.
Помните странную альтернативную геометрию, о которой шла речь в первой главе? На протяжении веков ученые рассматривали ее как фантазию, поэтическую прихоть. Они не видели соответствия с нашей реальностью, в которой, как предполагалось, действовал постулат Евклида о параллельных прямых.
Но в один прекрасный день на сцене появился молодой клерк из патентного бюро по фамилии Эйнштейн. Он понял, что безумная геометрия – не просто мысленный эксперимент; она определяет структуру космоса. С нашей ограниченной точки зрения, вселенная выглядит евклидовой, а шарообразная Земля – плоской. Но если изменить масштаб и отбросить предрассудки обитателя плоскости, откроется совершенно иная картина: переменчивый ландшафт поразительных изгибов[29].
«Бесполезная» геометрия становится чертовски полезной.
Мой любимый пример касается логики как таковой. Ранние философы вроде Аристотеля разработали логическую символику («если p, то q») как руководство научного мышления. Потом на нее покусились математические теоретики и превратили логику в нечто необычное и абстрактное. Реальность улетучилась. В XX веке люди вроде Бертрана Рассела сочиняли фолианты с латинскими заголовками[30] с целью «доказать», исходя из элементарных предпосылок, что 1 + 1 = 2. Что может быть более бесполезным, более безнадежным?[31]
Одна мама пилила сына-логика: «Солнышко, к чему тебе вся эта абстрактная математика? Почему бы не заняться чем-нибудь полезным?»[32]
Маму звали Этель Тьюринг. Вскоре выяснилось, что ее сын Алан все-таки на что-то годен: он изобрел логическую машину, которую мы теперь называем «компьютер».
Я не могу винить ее за скептицизм. Кто бы мог подумать, что исследование логических систем, которое вел ее сын, определит облик нового столетия? Сколько примеров я ни узнавал, этот исторический цикл перехода полезного в бесполезное и снова в полезное остается для меня чудом и тайной.
Мое любимое описание этого феномена – чеканная фраза физика Юджина Вигнера: «Непостижимая эффективность математики»[33]. В конце концов, бактерии не знают теорию узлов, так почему они следуют ее законам? Пространственно-временной континуум не изучал гиперболическую геометрию, почему тогда ее теоремы выполняются так безупречно?
Я читал философов, которые пытались ответить на эти вопросы, но, на мой взгляд, их тезисы умозрительны и противоречивы, и никто из них не смог умерить мое изумление.
Итак, как лучше понять взаимоотношения между поэтессой, которую мы называем Математика, и искателем приключений, известным как Естествознание? Возможно, мы должны рассматривать их связь как симбиоз двух весьма разных существ. Например, птица, поедающая насекомых, примостилась на спине носорога. У носорога не зудит кожа. Птица удовлетворяет аппетит. И они оба счастливы.
Если вы захотите изобразить математику, нарисуйте изящное существо, оседлавшее серую морщинистую тушу.
Глава 5
Хороший математик против великого математика
Развенчивать мифы невероятно весело. Просто посмотрите на беззаботные взрывы смеха и улыбки до ушей ведущих телешоу «Разрушители легенд»[34], и вы увидите: это карьера с высокой степенью удовлетворенности от работы.
25
Подробнее: Matthey Parker, Things to Make and Do in the Fourth Dimension. – London: Penguin Random House, 2014. [Паркер М. Чем заняться в четвертом измерении? – М.: АСТ, 2020.]
26
Планетарная модель атома, предложенная Эрнестом Резерфордом в 1911 году: электроны вращаются вокруг массивного ядра подобно тому, как планеты вращаются вокруг Солнца. – Прим. пер.
27
Впрочем, вскорости оказалось, что и планетарная модель неверна, и она была заменена квантовой. – Прим. науч. ред.
28
Подробности можно прочесть в книге: Сосинский А. Узлы. Хронология одной математической теории. – М.: МЦНМО, 2005 (http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/d63008f4-a780–11dc-945c-d34917fee0be/71_sosinskij_uzli.pdf). – Прим. пер.
29
Я благодарен Мэтью Фрэнсису и Эндрю Стейси за помощь по этому вопросу. Я хотел написать, что Вселенная «гиперболическая» или «эллиптическая», а не «евклидова», но они сообщили мне, что в действительности она представляет собой труднопостигаемое лоскутное одеяло из этих более простых геометрий.
Стейси написал: «Риманова геометрия обобщает евклидову во многих отношениях; она намного богаче евклидовой, но упускает из виду некоторые аспекты, в первую очередь то, как объекты соотносятся друг с другом в различных областях пространства». Это включает и понятие параллельных прямых.
Фрэнсис добавил интересную историческую деталь: «В XIX веке Уильям Кингдон Клиффорд предложил использовать неевклидову геометрию, чтобы заменить физическое понятие силы, но он просто полагал, что “это было бы прикольно”. Меня не удивило бы, если другие тоже продумывали подобные идеи». Естественно, Эйнштейн тесно сотрудничал с математиками; ни один прорыв не происходит сам по себе.
30
Трехтомная монография Principia Mathematica выпущена в 1910–1913 годах издательством Кембриджского университета (Уайтхед А., Рассел Б. Основания математики: В 3 т. / Под ред. Г. П. Ярового, Ю. Н. Радаева. – Самара: Самарский университет, 2005–2006). – Прим. пер.
31
Эта история изложена в графическом романе: Apostolos Doxiadis et al., Logicomix: An Epic Search for Truth (New York: Bloomsbury, 2009). [Доксиадис А., Пападимитриу Х. Логикомикс. Поиск истины. – М.: Карьера Пресс, 2019.]
32
James Gleick, The Information: A History, a Theory, a Flood (New York: Knopf Doubleday, 2011). Блестящая книга. [Глейк Дж. Информация. История. Теория. Поток. – М.: Corpus, 2013.]
33
Eugene Wigner, “The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences. Richard Courant lecture in mathematical sciences delivered at New York University, May 11, 1959”, Communications on Pure and Applied Mathematics 13 (1960): 1–14. Сногсшибательное эссе. [Статья Юджина Вигнера «Непостижимая эффективность математики в естественных науках» в переводе В. А. Белоконя и В. А. Угарова была опубликована в журнале «Успехи физических наук» в 1968 году (Т. 94, С. 535–546; https://ufn.ru/ru/articleszf/). – Прим. науч. ред.]
34
MythBusters – научно-популярная телепередача на канале Discovery (2003–2016). – Прим. пер.