Страница 2 из 8
Эта книга – не учебник, поэтому я буду пропускать технические детали. (Любители хардкора могут заглянуть в примечания.) На ее страницах вы обнаружите несколько уравнений, но даже самые кошмарные из них – не более чем украшения. Я хочу сосредоточиться на том, что, на мой взгляд, составляет истинное сердце математики, – на концепциях. Каждый раздел этой книги посвящен тому или иному пейзажу, но все они, как сеть подземных туннелей, объединены одной большой идеей. Как законы геометрии ограничивают наши дизайнерские идеи? Как методы вероятности откупоривают нектар вечности? Как крошечные приращения дают квантовые скачки? Как статистика приводит в порядок безумное расползание реальности?
Эта книга вывела меня в диковинные места. Надеюсь, что это произойдет и с вами.
I
Думать как математик
По правде говоря, математики не делают ничего особенного. Прихлебывают кофе, хмурясь на грифельную доску. Прихлебывают чай, хмурясь на контрольные учеников. Прихлебывают пиво, хмурясь на доказательство, которое записали год назад и в жизни больше не поймут.
Так протекает их жизнь: разнообразные напитки, нахмуренные брови и размышления, прежде всего размышления.
Видите ли, в математике нет физических объектов: нет необходимости вычислять концентрацию химических веществ, ускорять частицы, сотрясать финансовые рынки. Математики просто думают, вот и все. Когда мы проводим вычисления, мы превращаем одну абстракцию в другую. Когда мы выстраиваем доказательства, мы перекидываем логические мостики между взаимосвязанными идеями. Когда мы пишем алгоритмы или компьютерные программы, мы передоверяем электронному мозгу задачи, с которыми не могут справиться наши собственные водянистые мозги, слишком медленные или слишком перегруженные.
Каждый год, проведенный в компании математики, я изучаю новые стили мышления, новые способы использования первоклассного механизма, спрятанного внутри черепа и годного на все случаи жизни. Как освоить игру, покрутив ее правила? Как сохранить мысли на будущее, записав их крючковатыми греческими буквами? Как учиться на своих ошибках, словно это авторитетные профессора? И как не терять твердость духа, когда дракон хаоса наступает на пятки?
В общем, математика – это работа ума.
А как насчет хваленой пользы математики в повседневной жизни? Откуда на горизонте чистой мысли появляются смартфоны, космические корабли и, не к ночи будет помянута, таргетированная реклама? О, терпение, дружище. Всему свое время. Мы должны начать с того, с чего начинается вся математика, то есть с игры…
Глава 1
Жесткие крестики-нолики
Однажды на пикнике в Беркли я увидел группу математиков, которые побросали свои летающие тарелки фрисби и сгрудились, чтобы сыграть – вот уж чего никак не ожидал – в крестики-нолики.
Возможно, вы успели убедиться на собственном опыте, что крестики-нолики смертельно скучны (в медицинском смысле слова). Из-за того, что возможностей для хода ничтожно мало, опытные игроки быстро запоминают оптимальную стратегию. Вот как проходят все мои партии:
Если оба игрока хорошо понимают правила, все партии раз за разом проходят вничью – механически, без простора для творческой мысли.
Но на том пикнике в Беркли математики играли в необычные крестики-нолики. На их игровом поле каждая из девяти клеток делилась еще на девять клеточек[2]:
Когда я присмотрелся, основные правила прояснились:
Но потребовалось чуть больше времени, чтобы понять самое важное правило:
Вы не можете поставить крестик или нолик в клеточке на произвольном мини-поле. Все зависит от предыдущего хода противника. Вы должны играть на том мини-поле, которое соответствует клеточке, где он поставил свой крестик или нолик.
(А от того, где вы поставите свой крестик или нолик, зависит, на каком мини-поле он будет играть дальше.)
Это придает игре стратегический элемент. Вы не можете ставить крестик или нолик где угодно. Вы должны рассчитать, куда ваш ход перенаправит вашего противника и куда его ход перенаправит вас – и так далее, и так далее. (Есть всего одно исключение: если ваш противник перенаправляет вас на поле, которое уже сыграно, поздравляю – вы можете выбрать любое другое.)
В итоге сценарии игры выглядят эксцентрично: игроки легко теряют по два-три крестика или нолика на одной линии. Как будто звезда баскетбола упускает открытую передачу и кидает мяч в толпу. Но в этом безумии есть метод. Игроки думают на несколько ходов вперед, в зависимости от того, что предпринимает противник. Осуществив хитрую атаку на мини-поле, вы остаетесь в дураках на большом поле, и наоборот – это-то и вносит напряжение в процесс игры.
Время от времени я играю в жесткие крестики-нолики с моими учениками[3]; они наслаждаются стратегией, шансом победить учителя и, что самое существенное, отсутствием тригонометрических функций. Но частенько кто-нибудь из них застенчиво спрашивает: «Ну, мне, конечно, нравится игра, но какое отношение она имеет к математике?»[4]
Я знаю, как обычные люди воспринимают мою профессию: унылая тирания жестких правил и формульных процедур, где не больше разнообразия, чем, скажем, в заполнении страхового свидетельства или налоговой декларации. Вот пример задачки, которая ассоциируется с математикой:
Эта задачка, вероятно, сможет занять ваше внимание на пару минут, хотя вскоре вы абстрагируетесь от геометрического смысла. Периметр больше не будет означать длину линии, ограничивающей прямоугольник. Он превратится просто-напросто в удвоенную сумму двух чисел. Как и в обычных крестиках-ноликах, все сведется к примитивным вычислениям, не требующим интеллектуального напряжения. Здесь нет места фантазии, нет вызова вашим способностям.
Но математика не ограничивается бухгалтерскими вычислениями, ее потенциал гораздо шире. Математика может быть дерзкой и увлекательной, успех может зависеть от баланса терпеливости и авантюризма. Попробуем переформулировать рутинную задачу, приведенную выше, в таком духе:
Эта задачка уже по-настоящему захватывающая. Она противопоставляет площадь и периметр. Вы не просто пользуетесь формулой; в процессе решения вам необходимо постичь суть прямоугольника. (Спойлеры – в примечаниях[5].)
Или как насчет такого:
2
Происхождение этой игры теряется в тумане. Возможно, впервые ее правила были изложены в журнале Games в конце 1990-х или начале 2000-х (хотя на мой запрос сотрудники редакции ответили, что никогда не слышали об этой игре). В 2009-м версия под названием «Тик-так-ку» (с фишками на деревянной доске) завоевала премию Менсы за лучшую американскую настольную игру. Возможно, эту игру независимо придумывали несколько раз, как некоторые танцы или дифференциальное исчисление.
3
Когда я впервые продемонстрировал эту игру моим ученикам в Оклендской чартерной средней школе (Oakland Charter High School) в 2012 году, они-то и окрестили ее «жесткие крестики-нолики» (Ultimate Tic-Tac-Toe). Мой пост в блоге с таким заголовком вызвал всплеск популярности: статью в «Википедии», несколько научных статей и множество мобильных приложений. Мораль: гордитесь, матадоры! Вы придумали название для этой штуковины.
4
Я благодарен Марку Торнтону, который прочел черновик этой главы и задал в точности тот же самый вопрос. Правки Майка сродни текстам песен Леонарда Коэна или прозе Хемингуэя: я всегда знал, что они хороши, но чем старше я становлюсь, тем больше ценю их.
5
Ключевая идея заключается в том, что у продолговатых прямоугольников непропорционально большой периметр, а у похожих на квадраты – непропорционально большая площадь. Поэтому нужно просто взять продолговатый прямоугольник (например, 10×1) и почти квадратный (например, 3×4).