Домино

Основное правило игры в домино: к любому из квадратов, выложенной на стол кости, следует приставлять такую кость, половинка которой имеет столько же очков, сколько на половинке ранее выставленной кости. Иначе говоря, соприкасающиеся половинки соседних костей должны иметь одинаковое количество очков. Это правило носит название принцип домино, которое не нужно путать с эффектом домино, который относится к паданию выстроенных специальным образом косточек домино. В результате расклада по принципу домино получается цепь из соприкасающихся костей домино. Кости с одинаковым количеством очков на обеих половинках называются дублями и при игре их выставляют перпендикулярно линии строящейся цепи.

Начнем с разминки: выложите цепочку из полного комплекта косточек домино, соблюдая правило игры и ведя выкладку только в одном направлении. Начать можете с любой кости. Пустяковая задача, скажете вы? Действительно, это легко сделать, ведь существует огромное количество возможных вариантов выкладки цепочки из 28 косточек домино. Не найти один из них просто невозможно.

Только один шаг отделяет простое от сложного. Попробуйте сосчитать, сколько существует различных вариантов выкладки цепочки из 28 косточек домино по основному правилу? Этот вопрос впервые был поставлен в 1849 во французском математическом журнале и, после того как в течение трех лет никакого решения не поступило, в 1852 вопрос повторили. Наконец, немецкий математик М. Райсс решил задачу для стандартного набора домино. В 1871, после его смерти, решение было впервые опубликовано. Выложить одну такую цепочку может любой ребенок за пять минут, но потребовалось двадцать два года для решения задачи о количестве различных цепочек. Соответствующий раздел математики называется комбинаторика, и первоначально он развивался именно на исследованиях различных игр. Попробуйте и вы, читатель, свои силы в решении задачи на перебор вариантов. Только для начала мы возьмем задачу легче той, над которой ломали голову более двадцати лет, чтобы сразу не отбить у вас желание заниматься этим делом. Кроме того, рассмотрим еще несколько упражнений с косточками домино, не проводя пока никакой систематизации заданий. Просто постарайтесь понять, что собой представляют головоломки с использованием комплекта косточек домино.

1. Сколькими способами из 28 костей домино можно выбрать две кости так, чтобы их можно было приложить друг к другу (то есть, чтобы какое-то число очков встречалось на обеих костях).

2. Весь комплект домино выложен цепочкой в соответствии с правилом игры так, что на одном конце оказалось 5 очков. Сколько очков должно быть на другом конце цепочки? Сначала сообразите в уме, а потом можете выложить «экспериментальную» цепочку согласно условию и проверить свое предположение.

3. Сосчитайте сумму очков, содержащихся на всех косточках домино. Это значение пригодится в дальнейшем при решении некоторых других задач.

4. Выложите из 28 костей домино по правилу игры цепь так, чтобы ее можно было разделить на два отрезка по 14 костей в каждом с одинаковой суммой очков.

5. Теперь попробуйте сложить цепь, которую можно разделить на четыре части по 7 костей в каждой, чтобы сумма очков во всех группах была одна и та же.

6. Число 28 делится 2, на 4 и еще на 7. Может быть, вы сможете построить цепь, которая разрывается на семь частей по четыре кости в каждой и с равной суммой очков?

7. На рисунке показаны две кости домино, обладающие интересным свойством.

Объединяя между собой группы очков, непосредственно прилегающих друг к другу, можно получить все числа от 1 до 9. Так 1, 2 и 3 непосредственно есть на косточках. Остальные числа получаются при сложении очков, имеющихся на соседних половинках: 4=1+3, 5=2+3, 6=3+3, 7=1+3+3, 8=3+3+2, 9=1+3+3+2.

Выберите из полного комплекта домино четыре кости так, чтобы можно было получить числа от 1 до 23. Не обязательно располагать их по правилу игры.

8. Из полного комплекта домино отбросьте 7 косточек, содержащих число 6, и из оставшихся 21 кости, выложите цепь по правилам домино.

Не будем отсылать вас за ответами в конец книги, а на первых упражнениях покажем, как происходит сам процесс размышлений. Из любой задачи и ее решения нужно стараться взять максимум возможной информации. Не только получить ответ, но и выделить основные идеи, возникающие в процессе обдумывания. Они могут пригодиться в дальнейшем.

1. В разминке легко удается выложить цепь из 28 костей домино. Что можно узнать еще из этого упражнения? Внутри цепи числа очков располагаются парами, так как кости приставлены одна к другой равными числами, а при дубле стоят сразу четыре одинаковых половинки. Каждое число очков повторяется восемь раз, то есть – четное число раз. Это позволяет выложить цепь.

Сначала выберем одну кость. Это можно сделать 28 способами, потому что мы можем взять любую кость. При этом в 7 случаях кость окажется дублем, а в 21 случае – костью с различными числами очков на половинках. В случае первого дубля, вторую кость можно выбрать шестью способами. Во втором же случае вторую кость можно выбрать 12 способами, по шесть для каждой стороны. По правилу произведения (рассматривается в математическом курсе основы комбинаторики и теории вероятностей) в первом случае получается 7∙6= 42 варианта, а во втором 21∙12=252 варианта. В итоге по правилу суммы, получаем 294 способа выбора пары. Это и есть ответ нашей упрощенной задачи.

Чтобы узнать количество различных вариантов для выкладки целой цепочки, мы должны аналогично продолжить наши рассуждения еще для 26 косточек. Если у вас хватит терпения, то – вперед, если не хватит, никто не станет вас осуждать – очень уж хлопотное дело. В конце книги можно посмотреть решение и ответ, так сказать, для общего развития.

2. Предположим, что на концах выложенной цепи окажутся разные числа. Внутри цепи, как мы уже заметили, числа расположены парами или «четверкой» у дублей. Значит, из нашего предположения следовало бы, что числа, стоящие на концах, повторяются нечетное число раз. Этого не может быть, так как каждое число повторяется ровно восемь раз. Значит, на концах должны стоять одинаковые числа. Рассуждения подобного рода в математике называются – доказательством от противного.

3. Сумму очков на всех косточках домино легче считать, зная, что каждое число повторяется восемь раз:

(0+1+2+3+4+5+6)∙8=21∙8=168.

Получилось очень интересное число. Оно имеет 24=42=16 различных делителей, если считать единицу и само это число: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 12, 14, 21, 24, 28, 42, 56, 84, 168.

Кстати, ровно столько часов в одной неделе! И через столько месяцев от своего рождения человек в нашей стране получает паспорт. Правда, интересные совпадения? Не зря некоторые астрологи выдвигают даже версию, что в домино зашифрована некая система устройства мироздания – Закон Гармонии макро- и микрокосмоса: семь цифровых знаков символизируют, принятое в астрологии семеричное строение Вселенной. Здесь можно найти еще много интересного, но вдаваться в мистику не было нашей целью.

4. Половина полной суммы очков равна 84. Задача имеет много решений, поэтому приводить ответ не будем, скорее всего, он не совпадет с вашим результатом.

5. Продолжая решать, мы наглядно видим проявления философского закона перехода количественных изменений в качественные. Чем больше делений цепи, тем меньше различных решений, и тем труднее найти хотя бы одно из них. В данном случае сумма очков каждой части цепи равна 42. Вот одно из решений.