Страница 8 из 15
Илл. 3. Огюстен Луи Коши (1789–1857), французский математик и физик
Кривую, которую построил Коши, можно видеть на илл. 4, и на первый взгляд она кажется очень похожей на кривую Гаусса. Когда я говорил выше, что называть распределение Гаусса «колоколообразной кривой» неточно, я как раз и имел в виду распределение Коши и многие другие кривые, форма которых также напоминает колокол. Казалось бы, ничто не заставляет предположить, что это распределение способно описывать гораздо более дикий мир, чем гауссова кривая.
При ближайшем рассмотрении оказывается, что на расстоянии трех стандартных отклонений от среднего кривая Коши не так близка к оси абсцисс, как кривая Гаусса, хотя и она подходит все ближе и ближе к оси при все бо́льших и бо́льших отклонениях. Так ли важно, насколько стремительно кривая приближается к оси абсцисс? Неужели сама природа модели, которую описывает кривая, фундаментально зависит от быстроты приближения этой кривой к нулю? Как мы вскоре увидим, это именно так.
Илл. 4. Распределение Коши
(График Йожефа Бенце)
Из всех математических и физических явлений, которые порождают кривую Коши, возможно, легче всего понять следующее. Предположим, женщина с винтовкой – назовем ее Фиби, в честь великой американской женщины-снайпера Фиби Энн Моузи, более известной под именем Энни Оукли, – стоит на некотором расстоянии – скажем, в десяти метрах – от стены, которая продолжается до бесконечности в обоих направлениях. Она закрывает глаза, крутится на месте и, остановившись под случайным углом к стене, стреляет в ту сторону, куда направлена в этот момент ее винтовка. Разумеется, в половине случаев она вообще промахнется, потому что будет стоять спиной к стене, но мы рассмотрим только те выстрелы, которые в стену попадают. Чаще всего пули будут бить в стену сравнительно недалеко от стрелка. Половина попаданий придется на 20-метровый участок, центром которого будет ближайшая к нашей героине точка стены. И если провести перпендикуляр от Фиби к этой точке, пули полетят по обе стороны от него под углом, не превышающим 45°. Поэтому самая высокая часть у кривой Коши, как и у кривой Гаусса, находится в середине. Но если винтовка Фиби окажется почти параллельно стене, то ее пуля поразит гораздо более удаленную точку. Распределение Коши описывает среднюю частоту попадания в каждую точку стены[24].
Основное различие между моделями Гаусса и Коши состоит в том, что в распределении Гаусса очень удаленные части стены оказываются в высшей степени безопасными. Если Фиби стоит в 10 м от стены и стреляет раз в секунду, причем угол, под которым она стреляет, задан нормальным распределением, то до попадания в точку, расположенную в 65 м или дальше, пройдет в среднем 10 000 лет, а в случае, если угол определяется распределением Коши, Фиби поразит отметку в 65 м в среднем всего за 21 с. Более того, достижение расстояния 1000 м или более займет в среднем всего 5 минут, 10 000 м – 52 минуты, 100 км – 9 часов, а 1000 км – всего лишь 3,6 суток. Таким образом, если при распределении Гаусса мы в безопасности уже чуть менее чем в сотне метров от винтовки Фиби, то в сценарии Коши нам не вздохнуть спокойно, даже будь мы в тысяче километров от нее.
Пули попадут в каждый участок стены – редко, но в течение разумного времени. В широко известной книге Криса Андерсона «Длинный хвост» (The Long Tail) утверждается, что в современной экономике возможности для развития бизнеса находятся именно в областях, далеких от среднего. Андерсон предлагает следующую стратегию: найти достаточно широкий канал распространения, по которому можно будет выводить на рынок не небольшое количество популярных товаров, а большое количество товаров непопулярных. В отличие от распределения Гаусса возможности, существующие вдали от среднего, совсем не столь редки. На илл. 5 показаны обе кривые на одном графике, и, посмотрев на него, можно понять, откуда взялось название книги Криса Андерсона. Хвостовая часть у кривой Коши значительно длиннее, чем у кривой Гаусса. Нельзя сказать, что один «хвост» длиннее другого – они оба продолжаются до бесконечности, – но гауссова кривая быстро становится настолько тонкой, что с практической точки зрения она, можно считать, и вовсе сходит на ноль.
Когда Коши взялся за исследование математических свойств своей кривой, он решил выяснить среднее значение распределяемой величины – в нашем случае это меткие выстрелы Фиби, оставившие отметки на стене. Ответ казался вполне очевидным: поскольку Фиби с равной вероятностью может прекратить свое вращение, глядя как влево, так и вправо, эта точка должна находиться в середине стены. Действительно, кривая симметрична, но, когда Коши попытался вычислить среднее ожидаемое значение для конечного числа выстрелов – например, десяти, ста или тысячи, – он обнаружил, что с увеличением их числа возрастает и вероятность того, что при одном из них винтовка Фиби будет направлена почти параллельно стене и пуля попадет в чрезвычайно удаленную точку, причем это попадание не будет скомпенсировано другими выстрелами. Поэтому среднее по большому числу выстрелов значение не приближается к середине стены – вместо этого оно скачет по всей оси, и на него сильно влияют попадания в очень удаленные точки[25].
Илл. 5. Распределения Гаусса и Коши
(График Йожефа Бенце)
Математик сказал бы, что распределение Коши не имеет математического ожидания. Среднее значение по большому числу выстрелов может соответствовать любой точке стены. Именно этого не происходит в распределении Гаусса. Чем больше производится выстрелов, тем ближе среднее значение распределения Гаусса оказывается к середине стены, потому что очень редкие попадания в удаленные точки компенсируются гораздо бо́льшим числом попаданий в точки, расположенные ближе к центру.
Нет у распределения Коши и стандартного отклонения. При этом отсутствие у него стандартного отклонения отличается от его отсутствия у одного Эйнштейна. На самом деле было бы точнее сказать, что у Эйнштейна есть стандартное отклонение, но оно равно нулю и, следовательно, не поддается разумной интерпретации. Распределение Коши не имеет стандартного отклонения в том смысле, что не существует столь большого числа измерений, которое позволило бы определить типичное отклонение попаданий от середины. Во всех явлениях, которые хорошо моделируются распределением Коши, стандартного отклонения не имеет не только единственный и неповторимый Эйнштейн; оказывается, что его не имеет и все население.
Концепция Коши приводит к дикому миру, в котором нельзя даже говорить о таких «очевидных» вещах, как типичное отклонение от типичного значения, – потому что ничего такого не существует: ни типичного значения (математического ожидания), ни типичного отклонения. Невозможно сказать, что является «средним». Если вам нужно среднее, вам придется оставить мир Коши и вернуться в безопасный и тихий мир Гаусса.
Поэтому можно сказать, что математика Тихонии происходит от Гаусса, а математика Диконии – от Коши. То, что редкость в Гауссовой Тихонии, может быть делом сравнительно обычным в Диконии Коши – например, выстрелы, поражающие цель далеко за пределами нашего поля зрения. Если бы человеческий рост был распределен по Коши, время от времени появлялись бы люди, рост которых доходил бы до пяти, десяти и даже тысячи метров. Во всех остальных отношениях эти люди были бы такими же, как мы, но только выросшими по случаю чрезвычайно высокими – так же как Фиби по случаю стреляет почти параллельно стене. В части III этой книги мы увидим, как распределение Коши привело к открытию некоторых странных законов Диконии.
24
Ср. Mandelbrot and Hudson (2004), р. 37–39.
25
О распределении Коши см. Forbes et al. (2010) и Jondeau et al. (2007).