Страница 12 из 15
Затем Гёдель прошел еще на шаг дальше и отдельно пронумеровал все верные доказательства. Точно так же, как это было сделано для утверждений, доказательство, которое устанавливает справедливость математического утверждения, может быть представлено в виде последовательности логических формул, подчиняющихся определенным правилам. Гёдель применил к ним тот же метод, который он использовал для формул: он начал с доказательств из одного символа, затем перешел к доказательствам двухсимвольным и так далее. В результате каждый возможный правильный вывод получил номер, обозначающий его положение в последовательности верно составленных доказательств. Поскольку доказательства расставлены в порядке возрастания длины, любое доказательство, каким бы длинным оно ни было, рано или поздно должно появиться в этом перечне.
Это несколько упрощенное описание того, что на самом деле сделал Гёдель. Исходя из некоторых формальных соображений, он использовал для нумерации формул и доказательств гораздо более сложную систему. Но то описание, которое я привел выше, отражает основную идею. Вся эта нумерация утверждений и доказательств преследовала одну-единственную цель: гарантировать существование в перечне Гёделя одного очень странного утверждения – впоследствии это утверждение получило в честь Гёделя название «утверждение G». Если перевести утверждение G с математического языка на человеческий, его можно сформулировать следующим образом: Не существует такого натурального числа х, что доказательство с номером x есть доказательство утверждения G. Другими словами: Перечень всех возможных доказательств не содержит доказательства того утверждения, которое вы сейчас читаете.
Мастерский ход Гёделя заключался в выражении этой странной, логически закольцованной формулы математически точным образом. Затем он доказал, что утверждение G не может быть доказано (то есть в его перечне доказательств нет доказательства G). Не может быть доказано и обратное ему утверждение (потому что, как мы увидим дальше, оно на самом деле ложно). Если бы утверждение G было одним из нумерованных анекдотов, которые рассказывают пассажиры поезда, пассажиры могли спорить до скончания времен, следует ли смеяться над анекдотом G или возмущаться, услышав его, потому что обосновать ту или другую точку зрения было бы невозможно.
Следует иметь в виду, что G – очевидно, «хороший» анекдот в том смысле, что это утверждение истинно: если бы оно не было истинным, то истинным должно было бы быть утверждение, опровергающее его. В этом случае существовало бы натуральное число х, такое, что доказательство с номером x доказывало бы утверждение G. Но поскольку само G утверждает, что такого числа не существует, это означало бы, что доказательство x доказывает собственное небытие. Значит, утверждение G должно быть истинным – но если это так, тогда возможно представить вот этот самый абзац в виде конечного набора математических символов и тем обеспечить его включение в перечень доказательств, а из этого следует, что утверждение G должно быть ложным. Так кто же бреет брадобрея?
В отличие от рассказчиков анекдотов математики не запутались в этих рассуждениях и не пустились в бесконечные споры. Они смогли принять тот факт, что математика устроена именно так. Более того, многие задачи, остававшиеся нерешенными на протяжении многих лет, оказались утверждениями, которые невозможно ни доказать, ни опровергнуть, и в том, что никто не смог их решить, не было ничего удивительного[34].
Гипервещественные числа
Прошли десятки лет, и американскому математику Абрахаму Робинсону пришло в голову, что было бы интересно добавить отрицание G к классической системе математики в качестве новой аксиомы[35]. В конце концов, рассуждал он, в результате все равно получится математическая система, и если классическая математика непротиворечива – то есть в ней нет такого утверждения, которое можно и доказать, и опровергнуть, – то математика, полученная путем добавления одной этой аксиомы, тоже должна быть непротиворечивой. Если бы новая система оказалась противоречивой, в ней существовала бы возможность и доказать G, и опровергнуть G. Но поскольку единственное различие между старой и новой системами сводится к добавлению аксиомы об отрицании G, которую нельзя использовать для доказательства G, из этого следует, что доказательство G может быть возможно в новой системе, только если оно возможно и в старой, для которой Гёдель доказал его невозможность. Если бы новая система получилась противоречивой, в ней можно было бы получить как доказательство G, так и его опровержение, но, поскольку при помощи G невозможно получить опровержение G, из этого следует, что в исходной системе доказать G было невозможно. Следовательно, добавление отрицания G к классической математике дает непротиворечивую математическую систему – разумеется, если предположить, что классическая математика исходно непротиворечива.
Однако непротиворечивость классической математики – вещь далеко не очевидная. Хотя большинство математиков верит в истинность этой идеи, доказать ее не удалось никому. Тем не менее математики знают, что математика не может быть лишь немножко противоречивой. Сотни лет назад было доказано, что если бы в классической математике было одно-единственное противоречие, то для любого утверждения, которое может быть доказано, могло бы быть доказано и обратное утверждение. Таким образом, математика может быть либо абсолютно непротиворечивой, либо полной противоречий. Этого соображения математикам вполне достаточно, чтобы верить в ее непротиворечивость. Гёдель шокировал их и в этом отношении, потому что из его теоремы следует, что доказать непротиворечивость любой достаточно сложной системы математики внутри самой этой системы невозможно. Непротиворечивость всегда будет оставаться в некотором роде вопросом веры.
С учетом этого идея Абрахама Робинсона кажется абсурдной. В самом деле, он решил построить математическую систему, содержащую заведомо ложную аксиому. Как если бы я каким-то образом оказался не только мужчиной – а я мужчина, – но также и женщиной. Разумеется, в реальности такое невозможно (если не учитывать в этом примере гермафродитизма и бигендерности). Я не женщина, и на свете не существует никого, кто был бы мною и женщиной. Но в математике такие парадоксы возможны. Если классическая математика непротиворечива, то непротиворечивой должна быть и новая система, так как Робинсон получил ее добавлением независимой аксиомы. С математической точки зрения эта новая система будет такой же чистой и упорядоченной, как и старая. Поэтому в исследовании новой системы и рассмотрении теорем, которые можно из нее вывести, нет ничего дурного.
Оказывается, что при работе в новой системе придется переосмыслить сущность номеров доказательств в смысле гёделевской нумерации. Добавление опровержения G требует добавления некоего «обобщенного» натурального числа. Хофштадтер называет его «супернатуральным числом»[36], потому что в нем есть нечто почти чудесное. Чтобы дать этому супернатуральному числу имя, обозначим его буквой I, так как число это – плод нашего воображения, или, если обратиться к латыни, imaginatio. Вся традиционная математика по-прежнему прекрасно работает без I, а вся математика, использующая отрицание G, должна использовать I. Если вычисление, в котором используется I, дает результат, принадлежащий к области традиционной математики, то I из него исчезает – так же, как в некоторых вычислениях исчезает другой математический объект, который обозначают буквой i – мнимая единица: (1 + i) × (1 – i) = 2.
34
Например, было доказано, что так называемая континуум-гипотеза в традиционной аксиоматике теории множеств представляет собой гёделевское утверждение (Cohen 1966).
35
Robinson (1996); Goldblatt (1998).
36
В математике есть супернатуральные числа, или числа Штайница, которые не имеют отношения к тем, что упоминаются здесь. «Супернатуральные числа» Хофштадтера – это гиперцелые числа, подкласс гипервещественных (они же гипердействительные), о которых и идет речь в главе. – Прим. ред.