Страница 2 из 2
BEGIN
REPEAT WRITE ('C,Z0,Z9,H?');READLN(C,Z0,Z9,H); K:=ROUND((Z9-Z0)/Н+1.0); Z:=Z0;
FOR I:=1 TO К DO BEGIN SIMPE(0.0,3.1415925/2,E,F,S);
WRITELN(Z,' ',S); Z:=Z+H; END; UNTIL FALSE; END.
Пример программы на языке Basic
10 DEF FNA(Х) =SQR(1-Z*SIN(X)^2)
20 PRINT "E,Z0,Z9,H1";: INPUT E,Z0,Z9,H1
30 A=0 : B=PI/2
40 FOR Z=Z0 ТО Z9 STEP H1
50 GOSUB 100
40 PRINT Z,S : NEXT Z
90 GOTO 10
100 E1=E*15 : H=(B-A)/2
110 S=2*FNA(A+H) : S1=FNA(A)+FNA(B)+S : S=S1+S
120 S2=0 : S3=S : H2=H : H=H/2
130 FOR X=A+H TO В STEP H2 : S2=S2+FNA(X):NEXT X
140 S2=2*S2 : S1=S1+S2 : S=S1+S2
150 IF ABS(1-S/(2*S3))>E1 THEN 120
140 S=S*H/3
190 RETURN
Метод МОНТЕ-КАРЛО
Программно генерируются случайные числа и значение интеграла определяется как соотношение количества чисел, попавших в пределы функции, к общему количеству чисел.
Геометрическая интерпретация метода:
Пример программы на языке Basic
10 DEF FNY(X)=COS(P*X-Z*SIN(X))
20 PRINT "ВАРИАНТ"; : INPUT I
30 PRINT "N,P,Z"; : INPUT N,P,Z
35 A=0 : B=PI
40 IF I = 1 THEN GOSUB 100
50 IF I=2 THEN GOSUB 200
60 PRINT "S="S/PI
90 GO TO 20
100 H=B-A : S=0
110 FOR I = 1 TO N : S=S+FNY(A+RND(1)*H) : NEXT I
120 S=H*S/N
190 RETURN
200 H=B-A : S=0 : R=0
210 F=FNY(A+RND(1)*H)
215 IF RND(1)<ABS(F) THEN S=S+SGN(F)
220 R=R+1 : IF R< N THEN 210
230 S=H*S/N
290 RETURN
РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ВИДА – ФУНКЦИЯ ОТ Х = 0
Метод половинного деления
Уравнение может быть записано в общем виде: F(X)=0.
Решение задачи состоит из двух этапов:
1) отделение корней – выделение отрезков [ab], принадлежащих области определения функции f(x), на которых расположен один и только один корень уравнения, то есть один нуль функции f(X).
2) уточнение корней с любой степенью точности – построение процесса, позволяющего как угодно сузить границы выделенного отрезка. Критерием является следующий: функция f(x) на отрезке [a b] должна быть непрерывна и монотонна, а ее значения на концах отрезка должны иметь разные знаки. Для отделения корней используются два метода.
Аналитический метод: Для отделения действительных корней необходимо указать интервалы монотонности функции f(x), т.е. интервалы, в которых знак первой производной постоянный, а для этого решить уравнение f′(x) = 0 и подсчитать значение функции f(x) в точках корней уравнения и в граничных точках области определения функции. Отрезки, на концах которых у функции разные знаки, содержат корень.
Графический метод: Нужно построить график функции f(x) и выделить отрезки, где функция непрерывна, монотонна и имеет разные знаки на его концах.
Алгоритм метода половинного деления:
Геометрическая интерпретация метода:
Решить задачу:
Методом половинного деления найти корень уравнения x-Cos(x)=0.
Пример программы на языке C#
double x, left = 0, right = 1;
do { x = ( left + right ) / 2;
if ( ( Math.Cos(x) – x ) * ( Math.Cos(left) – left ) < 0 )
right = x; else left = x; }
while ( Math.Abs( right – left ) >1e-4 );
Console.WriteLine( "Корень равен " + x );
Пример программы на языке Pascal
PROGRAM P9;
FUNCTION FUN(A:REAL):REAL;
BEGIN
FUN:=A-COS(A);
END;
VAR A,B,X:REAL;
BEGIN
WRITELN('Ввести интервал А и В для поиска корня = ');
READLN(A,B);
REPEAT X:=0.5*(A+B);
IF FUN(X)*FUN(A)<0 THEN B:=X ELSE A:=X;
UNTIL ABS(A-B)<1E-4;
WRITELN(' Корень уравнения ',X);
END.
(Тест: Интервал 0 и 1; Ответ = 0.73907470703125)
Решить задачу:
Найти корень уравнения на отрезке [1; 2] с точностью =10-4 методом половинного деления.
Пример программы на языке Pascal
CONST A = 1;B = 2;EPS = 1E-4;
VAR X1, X2, X, Y1, Y2: REAL;F : BOOLEAN;
BEGIN
X1 := A; X2 := B; F := TRUE;
WHILE F DO
IF ABS (X1 – X2) > EPS THEN
BEGIN
Y1 := COS(2/X1) – 2*SIN(1/X1) + 1/X1; X := (X1 + X2)/2;
Y2 := COS(2/X) – 2*SIN(1/X) + 1/X;
IF ABS(Y2) > EPS THEN
IF Y1*Y2 > 0 THEN X1:= X ELSE X2:= X
ELSE F := FALSE END ELSE F:= FALSE;
WRITELN (‘КОРЕНЬ УРАВНЕНИЯ ’,X);
END.
Ответ 1,875
Пример программы на языке Basic
10 DIM P(9)
20 PRINT " А,В,Е " ; : INPUT А,B,Е
30 PRINT "СКОЛЬКО ПАРАМЕТРОВ"; : INPUT N
40 FOR К=1 TO N : PRINT "Р"К; : INPUT Р(К) : NEXT К
50 GOSUB 100
60 PRINT "Х=”Х
90 GOТО 20
100 Х=А : GOSUB 200
110 S=SGN(F)
120 X = (А+В)/2 : GOSUB 200
130 IF ABS(F)<Р(2) THEN RETURN
140 IF SGN(F)=S THEN A=X : GOTO 160
150 B=X
160 IF B-A>E THEN 120
190 RETURN
200 R=1 : R1=SQR(1-Х)
210 R2=(R+R1) /2 : R1=SQR (R*R1) : R=R2
220 IF R-R1 >P(2) THEN 210
230 F=R*P(1)-PI/2
290 RETURN
Пример программы на языке Pascal
VAR P: ARRAY [1..9] OF REAL; A,B,X,E:REAL;N,K:INTEGER;
FUNCTION F(X:REAL):REAL;
VAR R,R1,R2: REAL;
BEGIN R:=1.0; R1:=SQRT (1.0-X); WHILE R-R1 >P[2] DO BEGIN
R2:=(R+R1)/2; R1:=SQRT(R*R1); R:=R2; END;
F:=(R+R1)*P[1]-3.14159265; END;
FUNCTION SGN(X:REAL):INTEGER;
BEGIN SGN:=0;
IF X<0.0 THEN SGN:=-1;
IF X>0.0 THEN SGN:=1; END;
PROCEDURE DICH(VAR A,В,X,E,E1:REAL; FUNCTION F:REAL);
VAR I:INTEGER; R:REAL;
BEGIN I:=SGN(F(A)); WHILE B-A>E DO BEGIN
X:= (A+B) /2; R:=F(X); IF ABS(R)<E1 THEN EXIT;
IF SGN(R)=I THEN A:=X ELSE B:=X;END;END;
BEGIN
REPEAT WRITE(‘A,B,E?'); READLN(A,В,E); WRITE('СКОЛЬКО ПАРАМЕТРОВ? '); READLN(N);
FOR K:=1 TO N DO BEGIN
WRITE(‘P(‘,K:2, ')? '); READLN (Р[К]);END;
DICH(A,B,X,E,P[2],F); WRITELN('X=’,X); UNTIL FALSE; END.
Метод итераций
Уравнение f(x)=0 представляется в виде x=φ(x),где φ(x)определяется одним из способов:
φ(x)= x – αf(x),где α=const
φ(x)= x + ρ(x)f(x), где ρ(x)-произвольная функция не имеющая корней на отрезке (a/b).
Метод простой итерации определяется формулой: xn+1=φ(xn), n=0,1,2,3… где n-номер итерации,x0-произвольно заданное начальное приближение.
Процесс сходится к корню уравнения, если на отрезке (ab) выполняется условие: φ′(x) <= q < 1.
Конец ознакомительного фрагмента.
Текст предоставлен ООО «ЛитРес».
Прочитайте эту книгу целиком, купив полную легальную версию на ЛитРес.
Безопасно оплатить книгу можно банковской картой Visa, MasterCard, Maestro, со счета мобильного телефона, с платежного терминала, в салоне МТС или Связной, через PayPal, WebMoney, Яндекс.Деньги, QIWI Кошелек, бонусными картами или другим удобным Вам способом.