Страница 6 из 25
Рис. 6. Счетные метки
Они хороши для небольших чисел, но едва дело доходит до более «объемистых», то они превращаются в настоящую головную боль.
А ну-ка, быстро, какое это число (рис. 7)?
Рис. 7. Возможно… очень много счетных меток
Правильный ответ такой: «Не имеет значения, поскольку ни у кого нет времени сидеть и считать… послушайте, мы ведь собираемся заново создать цивилизацию тут, в прошлом!»
Именно это делает счетные метки отстойными, не клевыми цифрами.
На протяжении нашей истории возникали другие системы с теми же недостатками, но мы не будем тратить время на их описание и перепрыгнем сразу к финишной черте: ваша цивилизация собирается использовать, во-первых, индийские/арабские цифры, во-вторых, систему разрядов и, в-третьих, десятичный счет.
А теперь мы расскажем, что это вообще значит и почему это так круто.
А. Индийские/арабские цифры – это те самые цифры, с которыми вы так хорошо знакомы: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Вы можете придумать какие угодно знаки для этих цифр, если таково будет ваше желание, они совершенно произвольны. Кроме того, поскольку теперь индусы и арабы не имеют к изобретению никакого отношения, вы можете назвать их «[Вставьте ваше имя] цифры».
Б. Система разрядов: ситуация, в которой каждому разряду соответствует точно определенное место в числе. Например, 4023 означает: четыре тысячи ноль сотен два десятка и три единицы. Это выглядит совершенно естественным, но лишь потому, что вы привыкли использовать такую систему с детства. Все ее применяют, поскольку это очень эффективный и гибкий и в то же время простой способ изображать числа[6].
С. Десятичный счет: наша система основывается на числе 10, что значит – каждый следующий разряд в десять раз больше предыдущего и меньше последующего.
Когда вы двигаетесь справа налево, каждая колонка в десять раз больше.
Вот наше 4023 (табл. 3).
Таблица 3. Существует 4023 хорошие причины изучить эту схему. Нет, мы шутим, их не так много, но вам все же стоит быстренько глянуть на таблицу, чтобы вы могли знать, что такое число
На самом деле вы можете построить разрядную систему вокруг любого числа. База в виде десятки появлялась чаще всего на протяжении нашей истории, скорее всего, потому, что десять – примерно среднее число пальцев на руках у одного человека, но это не единственная база. Люди экспериментировали и с другими, вавилоняне, например, использовали 60 (о чем напоминает нам тот факт, что в каждом часе содержится 60 минут, а в круге – 360 градусов, см. раздел 4), а при проектировании компьютеров применяется база 2.
В такой системе каждая колонка всего в два раза отличается от предыдущей, а не в десять (табл. 4).
Таблица 4. Бинарные числа. У вас есть 1011 хороших причин изучить таблицу
Да, мы осознаем тот факт, что это заметно меньше, чем в случае с предыдущей таблицей. Ведь 1011 при базе 2 равняется 8 + 2 + 1, или 11.
Как вы уже наверняка догадались, та же самая последовательность разрядов может представлять различные числа при использовании различных баз. Если бы мы не сказали, что 1011 считается по базе 2, вы бы наверняка прочли его по базе 10, где оно представляет «тысячу одиннадцать». При базе в 5 это будет 131, при базе 7 – 351, при базе в 31 вы смотрите на число, представляющее 29 823.
Эксперименты в других временных линиях показали, что построение системы цифр вокруг странного числа вроде 31 – не очень хорошая идея, но знаете что: вы заперты в прошлом, и никто из нас не сможет остановить вас.
Ну а теперь, когда мы установили основания написания чисел, можно привести грустный факт: изобретение всего остального, со всеми элементами, которые мы принимаем как должное, потребовало у человечества примерно 40 тысячелетий. Бо́льшая часть этого времени ушла на то, чтобы придумать дроби, вещь настолько фундаментальную, что в школе ее довольно рано проходят дети.
Поэтому следующая таблица (табл. 5), в которой изложены элементы вашей численной системы, на самом деле является наиболее времясберегающей таблицей в истории.
Таблица 5. Homo sapiens sapiens, виду, который считает себя таким умным, что поместил слово «разумный» в собственное название дважды, да еще и на латыни, понадобилось 40 тысяч лет, чтобы заполнить эту таблицу
Видите все эти идеи?
Мы свели их в одну таблицу, на которую вы потратили несколько минут, и это максимум. Вы можете представить их другим за один вечер, сэкономив тысячи и тысячи лет, которые человечество растратило, даже не зная, что такое «ноль». И не благодарите. Всегда пожалуйста.
Что до других вещей, которые вы можете проделать с системой чисел, все это на ваше усмотрение. Существует большое количество полезных математических формул, для их разработки человечеству потребовалось много времени, и некоторые из них разбросаны по нашему руководству, но вот вам самый глубокий и темный секрет математики: вы можете построить основания математики так, как вам будет угодно.
Это может прозвучать для вас удивительным образом, но математика на самом деле базируется на положениях, которые мы не можем доказать, а лишь принимаем как истинные. Мы называем их аксиомами и рассматриваем как надежные предположения, но в конечном счете они опираются только на веру, а не на рациональные доказательства.
Среди аксиом есть идеи вроде того, что 2 + 1 дает тот же результат, что 1 + 2, и если a равно b, а b равно с, то а равно с.
Эти предположения полезны, поскольку они соответствуют реальности – а конструирование математики, основываясь на положениях, которые соответствуют реальности, выглядит достаточно практичным – и ничто не может остановить вас от выдумывания различных математических систем. И пусть мы настойчиво рекомендуем формировать систему вычислений, исходя в первую очередь из практики, может быть достаточно занятным разобраться, как будет работать умножение во вселенной, где a + b не будет являться эквивалентом b + a[7].
Всем известно[8], что на ноль делить нельзя.
Причина не в том, что при попытке осуществления такой операции возникает черная дыра, а в том, это обнажает противоречие, лежащее в центре нашей математической системы.
Возьмем число (для простоты 1) и будем делить его на все более и более малые числа, которые будут приближаться к нулю, но никогда не достигнут его. Ноль отмечает то место, где заканчиваются отрицательные числа и начинаются положительные. Если мы пытаемся добраться до него с положительной стороны, то увидим, что 1 разделить на 1 будет 1, 1 разделить на 0,1 будет 10, а 1 разделить на 0,001 будет 1000.
Чем меньше число, на которое мы делим, тем больше получаем в результате.
Следовательно, 1 разделить на 0 будет равняться бесконечности.
Но существует проблема, если мы пытаемся добраться до нуля с противоположной стороны, точно так же деля число (ту же единицу) на все более и более маленькие отрицательные числа, подходя все ближе и ближе к цели. Тут мы видим, что 1 делить на –1 даст –1, 1 на –0,1 даст –10 и 1, разделенное на –0,001, даст –1000.
То есть чем меньше число, на которое мы делим, тем ближе мы к отрицательной бесконечности, и по этой логике 1/0 должно равняться отрицательной бесконечности. Только одно число не может одновременно равняться и бесконечности и отрицательной бесконечности. Это фактически две максимально неравные величины, которые могут существовать.
Таким образом, мы приходим к противоречию.
И именно это противоречие заставляет нас сказать: «Вы не можете делить на ноль, поскольку ответ не имеет смысла и никто не знает пока, как с этим справиться».
6
Чтобы иметь представление о менее эффективной системе, посмотрите на римские цифры, которыми бо́льшая часть человечества, ругаясь и кряхтя, пользовалась целые тысячелетия и которыми меньшая часть человечества, так же кряхтя, продолжает пользоваться и в наше время. В этой системе нет позиционных разрядов, и вам просто приходится снова складывать числа, как в тех же счетных метках, с которых мы начали. Но здесь вместо единичных черточек (|) у нас есть целая куча отметок, каждая представляет разную величину, I – это «один», V – «пять», X – «десять», L – «пятьдесят» и так далее. То число, которое вы хотите изобразить, вы составляете, комбинируя эти базовые значки: 2 = II (1 + 1), 3 = III (1 + 1 + 1), а 4 = IV (или 5–1, ведь вам приходится вычитать, когда значок с меньшим значением стоит перед значком с бо́льшим). Так что число вроде «LXXXIX» будет равно 50 + 10 + 10 + 10 + (10–1), или 89. Длина числа в римской системе не соотносится с его величиной, римские цифры требуют складывания и вычитания в голове, чтобы разобраться, с чем именно вы имеете дело, и поэтому мы должны прекратить говорить о них прямо сейчас. Годятся они лишь на то, чтобы круто смотреться на циферблате часов и после вашего имени, чтобы вы могли отличаться от ваших предков-королей, не обладавших особым воображением в назывании отпрысков. В остальном – избегать.
7
Если вам и в самом деле интересно, то ответ на вопрос: «Ну серьезно, как чувствует себя умножение в подобной системе?» – будет выглядеть следующим образом: «Вполне хорошо, благодарю вас».
8
Слово «известно» взято в достаточно либеральном значении, чтобы его можно было приложить к математическим системам.