Страница 27 из 31
В зависимости от того, приносят ли данные финансовые активы доходы или нет, мы будем рассматривать три различных случая. В каждом из этих случаев предполагается, что соблюдаются предположения о рынке 1-4, изложенные выше.
2.3.1. Форвардная цена активов, не приносящих доходов
Такими активами, например, являются облигации с нулевыми купонами и акции, по которым не выплачиваются дивиденды.
Покажем, что форвардная цена F таких активов определяется равенством:
где S – спот-цена активов в текущий момент времени t;
– безрисковая процентная ставка при непрерывном начислении по инвестициям на Т- t лет;
Т – дата поставки активов.
При рассматриваемой стратегии не требуется производить начальных затрат, и эта стратегия не содержит риска.
По условию на рынке отсутствуют прибыльные арбитражные возможности.
то можно произвести короткую продажу базисных активов, полученную денежную сумму инвестировать под безрисковую ставку на Т – t лет и занять длинную позицию по форвардному контракту на эти активы.
Тогда в момент поставки активов будет получен безрисковый доход
что противоречит нашим предположениям о рынке. Следовательно,
Стоимости длинной и короткой позиций по форвардному контракту на активы, не приносящие доходов, определяются равенствами:
Пример 2.2. Найдем форвардную цену акции, не приносящей дивидендов, с поставкой через 3 месяца, если текущая цена акции 40 долл., а безрисковая процентная ставка на 3 месяца равна 3 %.
В данном случае
Тогда
Если на рынке форвардная цена акции оказалась равной 42 долл., то возможна следующая прибыльная арбитражная стратегия: занять 40 долл. на 3 месяца под безрисковую ставку 3 %, купить на спот-рынке акцию и занять короткую позицию по форвардному контракту. В момент поставки акции будет получен доход:
2.3.2. Форвардная цена активов, приносящих известные доходы
Такими активами могут служить купонные облигации или акции с известными заранее дивидендами.
Форвардная цена F активов с известными доходами определяется равенством:
где S – спот-цена активов в текущий момент времени t;
I – приведенное значение доходов, поступающих от активов за время от t до Т;
Т – дата поставки активов.
Стоимости длинной и короткой позиций по форвардному контракту на активы с известными доходами можно найти следующим образом:
Пример 2.3. Найдем форвардную цену акции с поставкой через 8 месяцев, по которой дивиденды в размере 5 долл. ожидаются через 2 и 5 месяцев, если текущая цена акции равна 100 долл., а безрисковые процентные ставки на 2, 5 и 8 месяцев соответственно равны 5, 5,5 и 6 % (при непрерывном начислении процентов).
В данном случае
2.3.3. Форвардная цена активов, обладающих постоянной дивидендной доходностью
Предположим, что доходы от активов выплачиваются в виде самих этих активов, причем так, что за время τ единица активов с учетом накопленных доходов превращается в единиц активов. В этом случае говорят, что активы обладают постоянной дивидендной доходностью при непрерывном начислении.
Иностранную валюту можно рассматривать как актив с постоянной дивидендной доходностью. В самом деле, единицу иностранной валюты можно инвестировать под безрисковую ставку в той стране, где действует эта валюта. Тогда через т лет единица иностранной валюты превратится в единиц этой валюты. Таким образом, иностранная валюта обладает постоянной дивидендной доходностью, и эта дивидендная доходность совпадает с безрисковой процентной ставкой .
Во многих случаях фондовые индексы также можно рассматривать как активы с постоянной дивидендной доходностью.
Форвардная цена F активов с постоянной дивидендной доходностью при непрерывном начислении может быть найдена по формуле:
В этом случае для стоимости длинной и короткой позиций по форвардному контракту имеем равенства:
Пример 2.4. Найдем 8-месячную форвардную цену английского фунта стерлингов, если текущий обменный курс равен 1,8 долл. за фунт, а безрисковые процентные ставки в США и в Англии при непрерывном начислении процентов равны 6 и 4 % соответственно.
2.4. Форвардная цена товаров
Пусть F – форвардная цена некоторого товара в момент времени t с датой поставки Т.
Покажем, что при отсутствии прибыльных арбитражных возможностей справедливо неравенство
Так как данная стратегия не требует никаких начальных затрат и не содержит риска, то это – прибыльная арбитражная стратегия. Следовательно,