Добавить в цитаты Настройки чтения

Страница 10 из 15



Каждую минуту, скорость изменяется на значение 0,2.

Не равномерное изменение

Возьмём всё тот же автомобиль, который стоит на месте. Сидя в нем, вы начинаете жать в “пол” педаль газа, удерживая её в этом положении. Скорость движения автомобиля, за счет инерции, будет возрастать не равномерно. Ежеминутное приращение скорости будет с каждой минутой увеличиваться.

Приведем в таблице, значения скорости в каждую минуту:

Эти данные представляют собой выражение:

s = t²

Какова скорость изменения скорости автомобиля в каждый момент времени?

Если посмотреть на два предыдущих примера, то в них скорость изменения скорости определялась наклоном графика, коэффициентом крутизны прямой линии А. Когда автомобиль двигался с постоянной скоростью, его скорость не изменялась, и скорость изменения скорости равна 0. Когда автомобиль равномерно набирал скорость, скорость его изменения составляла 0,2 км/мин, на протяжении всего времени движения автомобиля в этом режиме.

А как тогда поступить в этом случае? Как узнать изменение скорости по кривой?

Применение дифференциального исчисления, понятие производной

После трех минут с момента начала движения (t=3), скорость составит 9 км/мин. Сравним со скоростью в конце пятой минуты. После пяти минут с момента начала движения (t=5), скорость составляет 25 км/мин. Не важно, что скорость 25 км/мин – сопоставима со скоростью пули, ведь это воображаемая машина, и едет она с той скоростью, с какой мы захотим. Если провести касательную линию в этих точках, то окажется, что угол наклона у них совершенно разный:

Вы видите, что чем больше скорость в точке касательной, тем её наклон круче. Оба наклона представляют искомую скорость изменения скорости движения. Можно сравнить с вторым примером – линейное изменение.

Но как измерить наклон этих линий? Для этого давайте представим, что наша касательная (t = 3, s = 9), пересекает функцию в двух точках, расстояние между которыми очень мало:

Зная координаты этих точек и проведя проекции по осям, можно вычислить расстояние между этими точками.

Если представить прямоугольный треугольник где гипотенуза – это прямая между двумя точками, а его катеты равны разности проекциям точек по осям (∆t и ∆s), то поделив противолежащий катет на прилежащий получим тангенс угла, который и будет являться коэффициентом крутизны. Зная который, как во втором примере, мы легко определим изменение скорости в момент ∆t.

Как мы знаем, скорость изменения – это наклон прямой, которую из второго примера мы уже умеем находить. Значит, около точки (t=3), наш коэффициент крутизны будет равен:

Значит, скорость изменения скорости в момент времени три минуты составляет 6,06 км/мин.

Производная функции

Мы можем говорить о скорости изменения чего угодно – физической величины, экономического показателя и так далее.

Рассмотрим функцию y = f(x). Отметим на оси X, некоторое значение аргумента x, а на оси Y – соответствующее значение функции y = f(x).

Дадим аргументу x, некоторое приращение, обозначенное как ∆х. Попадаем в точку х+∆х. А соответствующие этим значениям аргументов, значение функции обозначим соответственно f(x), f и f(x+∆х). Приращение аргумента ∆х, есть аналог промежутка времени t, а соответствующее приращение функции – это аналог пути s, пройденного за время t.

Если представить, что ∆х – бесконечно мала, т.е. стремиться к нулю (∆х-›0), то выражение нахождения изменения скорости можно записать как:



Или исходя из геометрического представления, описанного ранее:

Отсюда вывод, что производная функции f(x) в точке х – это предел отношения приращения функции к приращению её аргумента, когда приращение аргумента стремиться к нулю.

Нахождение некоторых табличных производных

Решим найденным способом, наш первый пример, когда скорость автомобиля была постоянной, на всем промежутке времени. В этом примере, приращение функции равно нулю (s = 0), и соответственно тангенса угла не существует:

∆s = s(t+∆t) – s(t) = s(t) – s(t) = 0

Итак, имеем первый результат – производная константы равна нулю. Этот результат мы уже выводили ранее:

Откуда можно сформулировать правило, что производная константы, равна нулю.

s(t) = с, где с – константа

с′ = 0

Запись с′ – означает что берется производная по функции.

Во второй примере, когда изменение скорости автомобиля проходило линейно, с постоянным изменением, найти производную функции (s = 0,2t + 1,5), не зная правил дифференцирования сложных функций, мы пока не сможем, поэтому отложим этот пример на потом.

Продолжим с решения третьего примера, когда изменение скорости автомобиля проходило не линейно:

s = t²

Приращение функции и производная:

s(t) = t²

∆s = s(t+∆t) – s(t) = (t+∆t) ² – t² = t² + 2t∆t + ∆t² – t² = ∆t(2t+∆t)

Вот мы и решили наш третий пример! Нашли формулу точного изменения скорость от времени. Вычислим производную, в всё той же точки t = 3.

s(t) = t²

s′(t) = 2*3 = 6

Точный ответ, в пределах небольшой погрешности, почти сошелся с вычисленном до этого приближенным ответом.

Попробуем усложнить пример. Предположим, что скорость движения автомобиля описывается кубической функцией времени: