Страница 78 из 125
Проблема парадокса часов (см. упражнения 27 и 49) может быть изящно разрешена с помощью учёта эффекта Допплера. Вспомним, что Павел оставался на Земле, тогда как Пётр летал с огромной скоростью β???? до далёкой звезды и обратно на Землю. Пусть они оба наблюдали удалённую переменную звезду, яркость которой попеременно ослабевает и увеличивается с частотой ν в системе отсчёта Земли (ν' в системе отсчёта ракеты). Предположим, что расстояние до этой переменной звезды намного превышает длину пути Петра, а направление на неё в системе отсчёта Земли перпендикулярно направлению движения Петра. Оба наблюдателя зарегистрируют одно и то же общее число пульсаций переменной в течение всего путешествия Петра от его вылета до возвращения. Исходя из этого факта и из формулы для допплеровского смещения (упражнение 75)
ν'
=
ν ch θ
????
⋅
(1-β
????
cos φ)
(122)
при данном угле наблюдения φ= 90° в лабораторной системе отсчёта, проверьте утверждение, что к концу путешествия, описанного в упражнении 27, Пётр постареет всего на 14 лет, тогда как Павел — на все 50. ▼
82*. «Не превышайте скорости»
На автостраде установлен стационарный радиолокатор, сдвиг частоты луча которого, отражённого от едущей навстречу ему машины, используется для измерения скорости её. Одна из таких установок, используемых полицией в штате Нью-Джерси, работает на частоте 2455 Мгц. Насколько сдвигается частота отражённого луча, если приближающаяся к радиолокатору машина имеет скорость 80 миль/час (1 миля/час = 0,447 м/сек). (Произведите приближённый расчёт, предполагая, что автомашина служит источником той же частоты, какой обладает излучение, падающее на неё в её системе покоя. Для того чтобы решить эту задачу, необходимо произвести два преобразования: от системы отсчёта автострады к системе отсчёта машины, а затем от системы отсчёта машины вновь к системе отсчёта автострады). Допустим, что радиолокационная установка способна различать скорости, разность между которыми составляет не менее 10 миль/час. Какое относительное изменение частоты может зарегистрировать эта установка? ▼
83*. Допплеровское уширение спектральных линий
Средняя кинетическая энергия атома газа при температуре ????°???? (шкала Кельвина) равна ³/₂⋅???????? (Константа ???? называется постоянной Больцмана и равна 1,38⋅10⁻²³ дж/град). Определите относительное изменение частоты, обусловленное допплеровским смещением, которое будет наблюдаться в излучении атомов газа при температуре ????. Используйте в качестве приближения для малых скоростей ньютонову механику. Будет ли наблюдаемая частота больше или меньше вследствие эффекта Допплера? Это явление — причина того, почему любая данная спектральная линия газа, возбуждённого электрическим разрядом, состоит из узкой полосы частот вокруг некоторой центральной частоты. Оно называется допплеровским уширением спектральных линий. ▼
84*. Изменение энергии фотона вследствие отдачи излучателя
а) Свободная частица, первоначально покоившаяся и обладавшая массой покоя ????, излучает фотон с энергией ????. Эта частица (её масса покоя стала равна ????) испытывает отдачу, и её параметр скорости становится равен θ (рис. 113).
Рис. 113. Отдача, испытываемая частицей при испускании фотона.
Сформулируйте законы сохранения таким образом, чтобы в них не фигурировала ни скорость, ни параметр скорости. Рассмотрите тот случай, когда относительное изменение массы покоя в процессе излучения намного меньше единицы. Покажите, что энергия фотона равна ????₀=????-????. Покажите также, что в общем случае
????
=
????₀
⎛
⎜
⎝
1
-
????₀
2????
⎞
⎟
⎠
или
????-????₀
????₀
=
Δ????
????₀
=-
????₀
2????
.
(123)
б) Покажите, что такое изменение энергии в области видимого света (????₀,обычн ≈3 эв), излучаемого атомами газа (????????≈10⋅10⁹ эв), намного меньше, чем обусловленное эффектом Допплера, вследствие теплового движения атомов (упражнение 83) даже при таких низких температурах, как комнатные (????????≈1/40 эв). ▼
85*. Эффект Мёссбауэра
а) Свободный атом железа ????????⁵⁷, образовавшийся в так называемом «возбуждённом состоянии» при радиоактивном распаде кобальта ????????⁵⁷, при переходе в «нормальное состояние» атома ????????⁵⁷ излучает из ядра гамма-квант (фотон высокой энергии) с энергией 14,4 кэв. Чему будет равно относительное изменение энергии гамма-кванта, вызванное эффектом отдачи атома? Масса атома ????????⁵⁷ составляет около 57 масс протона.
б) В 1958 г. 29-летний P. Л. Мёссбауэр сделал важное открытие, что не все излучаемые гамма-кванты испытывают такой сдвиг частоты 1). Исходя из квантовой механики, он доказал теоретически, подтвердив свой вывод экспериментальной проверкой, что когда атомы железа включены в твёрдое тело (поскольку атомы железа образовались при радиоактивном распаде атомов кобальта, первоначально включённых в это твёрдое тело), значительная часть этих атомов железа не испытывает отдачи, свойственной свободным атомам в момент излучения. Напротив, они ведут себя так, как если бы их жёстко связали с покоящимся твёрдым телом. Импульс отдачи передаётся при этом всему телу как целому. Но масса тела превышает массу отдельного атома на много порядков (степеней 10), и в этом случае мы имеем явление, названное процессом без отдачи. (Излучение фотонов ядрами атомов, связанных в твёрдом теле, не сопровождающееся эффектом отдачи, напоминает один из фактов, обнаруженных Комптоном, а именно что некоторые из фотонов, рассеянных крепко связанными в атоме электронами, приобретают очень малое изменение энергии, так как атом испытывает отдачу как единое целое; см. упражнение 70). Для гамма-лучей, испускаемых в процессах без отдачи, в упражнении 84 в качестве ???? следует взять массу всего куска металла, в которой заключены атомы железа. Если эту массу принять равной 1 г, чему будет равен относительный сдвиг частоты гамма-кванта в процессе «без отдачи»?
1) За это открытие немецкий учёный был удостоен Нобелевской премии 1961 г.; подробности см. в статье S. DeBenedetti, The Mössbauer Effect, Scientific American, 202, 72 (April, 1960).
Рис. 114. Естественная ширина линии для фотона, испущенного ядром ????????⁵⁷.
в) Испущенные возбуждёнными ядрами ????????⁵⁷ гамма-лучи не состоят из квантов, несущих в точности одну и ту же энергию; их энергии сосредоточены в узком диапазоне (это же касается и их частот), обусловливающем естественную ширину линии. Практически из тысячи или более фотонов можно выделить несколько классов. Любой данный фотон принадлежит к тому или другому классу в зависимости от того, в каком из многих равных по ширине интервалов лежит его частота. Число фотонов в каждом классе как функция частоты изображается графически и образует колоколообразную кривую (рис. 114). Ширина этой кривой на высоте половины её максимума обозначается через Δν. Для гамма-квантов, излучаемых ????????⁵⁷ и обладающих энергией 14,4 кэв, отношение Δν/ν₀ весьма мало и равно 3⋅10⁻¹³. Чему равна естественная ширина линии Δν излучения ядер ????????⁵⁷ в герцах? Сравните естественную относительную ширину линии с относительным сдвигом частоты, вызываемым отдачей свободного атома железа. Сравните её также с относительным сдвигом частоты гамма-лучей в процессе без отдачи.