Страница 76 из 125
????
обычн
=
ℎν
(энергия в обычных единицах).
(115)
1) Более привычны единицы — грамм, сантиметр и секунда, в которых ????=3⋅10¹⁰ см/сек, ℎ=6,63⋅10⁻²⁷ эрг⋅сек, а ????=980 см/сек². — Прим. перев.
г) Покажите, что формула, описывающая эффект Комптона (упражнение 70), принимает при этом вид
ν
=
ν
.
1
+
ℎν
(1-cos φ)
????????²
(116)
Идея о том, что рассеянная (переизлучённая) волна обладает пониженной частотой, когда электрон получает электрический удар от поля волны фотона, встречала сильное сопротивление в 20-х годах нашего века. ▼
73*. Гравитационное красное смещение
Следующие две задачи предполагают некоторое знакомство с определёнными элементарными фактами теории тяготения:
I. Очень малый объект (либо сферически симметричный объект произвольного радиуса) с массой ????₁ притягивает объект с массой ????₂ (также малый либо сферически симметричный) с силой ????=????????₁????₂/????². Здесь ???? — расстояние между центрами этих объектов, а ???? - ньютоновская гравитационная постоянная:
????
=
6,67⋅10⁻¹¹
м
³
/
сек
²⋅
кг
=
6,67⋅10⁻⁸
см
³
/
сек
²⋅
г
.
II. Работа, необходимая для перенесения пробной частицы единичной массы из точки ???? в точку ????+???????? против сил гравитационного притяжения, вызываемых наличием закреплённой массы ????, равна
????????
=
????????
????²
.
Переходя от обычных единиц энергии к единицам размерности массы, запишем эту работу как
????????
=
????????
????²
⋅
????????
????²
=
????*
⋅
????????
????²
(117)
(работа, отнесённая к единице массы пробной частицы).
III. В этой формуле первый сомножитель, ????*=????????/????², имеет очевидный смысл — это масса притягивающего центра, выраженная не в килограммах, а в метрах. Например, масса Земли (????=5,983⋅10²⁴ кг) равна в единицах длины ????Земля*=4,44⋅10⁻³ м тогда как масса Солнца (????=1,987⋅10³⁰ кг) равна ????Солнце*=1,47⋅10³ м.
IV. Пусть пробная частица находится сначала на расстоянии ???? от притягивающего центра, а затем уносится на бесконечность. Необходимая для этого работа равна
????
=
????*
????
(118)
из расчёта на единицу массы, содержащейся в пробной частице.
а) Какая часть вашей энергии покоя перейдёт в потенциальную энергию, если вы подниметесь на высоту памятника Вашингтону (555 фут, или 170 м)? Пусть
????*
=
????????З
????²
⋅
1
????З²
=
????З*
????З²
есть ускорение силы тяжести на поверхности Земли (радиус ????З), выраженное в м/м².
б) Какая часть вашей энергии покоя перейдёт в потенциальную энергию, когда вы подниметесь за пределы действия гравитационного поля Земли? Допустим, что, кроме Земли, во Вселенной ничего нет. Зависит ли доля энергии, теряемой в пункте (а) или (б), от вашей первоначальной массы?
в) Используйте результат, полученный в пункте (а), для нахождения относительного изменения энергии фотона, поднимающегося вертикально на высоту ???? в однородном гравитационном поле ????*. Масса покоя фотона равна нулю, и формально можно сказать, что фотон обладает кинетической энергией ????=????. Поэтому фотон располагает лишь одним источником, а именно своей кинетической энергией, за счёт которого он может компенсировать возрастание потенциальной энергии при подъёме в гравитационном поле. Световая волна с частотой ν состоит из фотонов энергии ????=ℎν/????² (см. упражнение 72). Требуется показать, что относительная потеря энергии фотонами, поднимающимися в гравитационном поле, соответствует следующему относительному изменению их частоты:
Δν
ν
=-
????*????
(однородное гравитационное поле).
г) Вывод, полученный в пункте (б), используйте для нахождения величины относительной потери энергии фотоном при его удалении на бесконечность. (Применение этого вывода является хорошим приближением с точностью до 1%, если сама величина относительной потери энергии не превышает 2%). Пусть, например, фотон испускается из какой-то точки на поверхности астрономического объекта массы ???? (кг) или ????* (м) и радиуса ????. Исходя из величины относительной потери энергии, покажите, что относительное изменение частоты определяется формулой
Δν
ν
=-
????*
????
.
(119)
Такое уменьшение частоты называется гравитационным красным смещением, потому что в видимом свете смещение состоит в сдвиге линий к низкочастотному (красному) концу спектра. Найдите величину относительного гравитационного красного смещения для света, испускаемого с поверхности Земли, и для света, испускаемого с поверхности Солнца. ▼
74*. Плотность спутника Сириуса
Сириус (Альфа созвездия Большого Пса) — самая яркая звезда неба. Сириус и его маленький спутник обращаются один вокруг другого. Анализируя это обращение с помощью ньютоновской механики, астрономы смогли определить, что масса спутника Сириуса приблизительно равна массе нашего Солнца (????≈2⋅10³⁰ кг, ????*≈1,5⋅10³ м).
Излучение спутника Сириуса было исследовано спектроскопически. Отождествлённые по своему взаимному расположению спектральные линии некоторого химического элемента оказались сдвинутыми по своей частоте на 7⋅10⁻⁴ от величины частоты тех же спектральных линий того же элемента в лаборатории. (Эти опытные данные верны с точностью до первой значащей цифры). Интерпретируя это красное смещение как гравитационное (см. формулу в конце упражнения 73), найдите среднюю плотность спутника Сириуса в граммах на кубический сантиметр. Этот тип звёзд носит название белых карликов. ▼
Г. ДОППЛЕРОВСКОЕ СМЕЩЕНИЕ
75. Формулы Допплера
Пусть фотон движется в лабораторной системе отсчёта в плоскости ???????? в направлении, образующем угол φ с осью ????, так что он обладает компонентами импульса ???? ????=???? cos φ, ???? ????=???? sin φ и ???? ????=0.
а) Используйте формулы преобразования Лоренца для 4-вектора энергии-импульса и соотношение ????²-????²=0, справедливое для фотона, чтобы показать, что в системе отсчёта ракеты фотон обладает энергией ????',
????'
=
???? ch θ
????
⋅
(1-β
????
cos φ)
,
(120)
и движется в направлении, образующем с осью ????' угол φ', причём
cos φ'
=
cos φ-β????
1-β???? cos φ
.