Страница 42 из 125
и
????'
=-
β
????
????+????
.
(58)
Теперь, исходя из обыденных нерелятивистских ньютоновских соображений, выведите формулы преобразования, связывающие между собой две системы отсчёта. Это преобразование называется преобразованием Галилея и выражается формулами
????'
=
????-????
????
????
сек
(59)
(собственно преобразование Галилея) и
????
сек
'
=
????
сек
.
(60)
Здесь ???????? — скорость относительного движения двух систем отсчёта, выраженная в метрах в секунду.
Может показаться, что формулы (57) и (58) и формулы (59) и (60) полностью противоречат друг другу. Справедливо ли это первое впечатление, а если нет, то почему? [Обсуждение. Почему в преобразовании Галилея (59) скорость ???????? заменяет величину β???? из формулы (57)? Какой вид принимает формула (58), если подставить в неё величины ???????? и ????сек? Как соотносятся друг с другом обыденные скорости и скорость света?] ▼
39*. Пределы применимости преобразования Галилея
Перейдите к более точному приближению в записи формул преобразования Лоренца при малых относительных скоростях, сохранив члены порядка θ????², но продолжая пренебрегать членами более высоких порядков. (Это —«второе приближение по θ????». Обратите внимание на то, что, согласно табл. 8, разложение th θ???? даже во втором порядке по θ???? даёт β????≈θ????). Покажите, что и в этом улучшенном втором приближении коэффициенты при ???? и ???? согласуются с соответствующими коэффициентами в формулах (57) и (58) с точностью, превышающей 1%, если скорости β???? ниже чем ¹/₇.
Если гоночный автомобиль может при постоянном ускорении с места набрать за 7 сек скорость 60 миль/час (около 27 м/сек), то за сколько дней (приблизительно) он достигнет при том же ускорении скорости β=1/7? За сколько дней можно достичь этой скорости при наивысшем ускорении, переносимом человеческим организмом в течение длительных периодов времени (около 7 ????, т.е. при семикратном ускорении свободного падения)? ▼
40*. Столкновения в теории Ньютона и в теории относительности. Область, в которой обе теории совпадают друг с другом с точностью до 1 %
Рис. 53. Изображение симметричного упругого рассеяния в лабораторной системе отсчёта. (Обратите внимание на разную штриховку кадров в лабораторной системе отсчёта и системе отсчёта ракеты!).
Пусть протон ???? подвергается упругому столкновению с протоном ????, первоначально находившимся в покое. Результат такого столкновения невозможно предсказать, так как мы не указали, насколько протоны сблизились при столкновении (а от этого зависит исход). При большинстве столкновений протон ???? отклонится от первоначального пути лишь на малый угол α????, а протон ???? при этом ощутит лишь слабый толчок в сторону под углом α???? (относительно направления движения протона ????), близким к 90°. Но может произойти и очень тесное сближение протонов, когда почти вся энергия передаётся протону ????, и он вылетает под весьма малым углом α???? к направлению «вперёд» (первоначальному пути ????). Промежуточными случаями по отношению к этим двум крайностям являются происходящие время от времени столкновения с «симметричным рассеянием», когда обе (тождественные) частицы разлетаются с одинаковыми скоростями в направлениях, образующих равные углы, α????=α????=α/2, с направлением «вперёд» (рис. 53). Вопрос: чему равен угол отклонения частиц при симметричном рассеянии? Обсуждение. По механике Ньютона полный угол разлёта одинаковых частиц равен 90° при всяком упругом столкновении (будь то симметричное рассеяние или нет!). То, что этот угол при столкновениях быстрых частиц оказывается менее 90°, есть одно из самых интересных и доказательных предсказаний теории относительности. На рис. 54б дана фотография «медленного» столкновения, при котором, в согласии с теорией Ньютона, угол разлёта равен 90°. Напротив, на рис. 54а представлен случай «быстрого» столкновения, при котором угол разлёта частиц явно меньше 90°. Этот факт означает, что отличие угла разлёта от 90° даёт хороший критерий отклонения законов движения от ньютоновских. Рассмотрим, например, такой вопрос: ниже какого значения должна быть скорость частицы в подобном опыте по рассеянию, для того чтобы величина угла разлёта частиц отклонялась от 90° менее чем на ¹/₁₀₀ радиана? Решение этой задачи значительно упрощается, если подойти к случаю описанного выше симметричного рассеяния, выбрав систему отсчёта таким образом, чтобы можно было максимально воспользоваться соображениями симметрии. Сядем для этого в ракету и полетим направо как раз с такой скоростью, которая равна компоненте «вперёд» скорости каждой из частиц после рассеяния. Тогда при наблюдении с этой ракеты частицы ???? и ???? не будут испытывать движения в направлении движения ракеты после столкновения. Что же касается боковых компонент скорости частиц ???? и ???? (в направлениях вверх и вниз), то заметим, что эти скорости были равны по абсолютной величине и противоположны по направлению в лабораторной системе отсчёта. Но ведь такая симметрия скоростей не может измениться, если мы наблюдаем теперь столкновение с ракеты, летящей вправо. Поэтому и при наблюдении в системе отсчёта ракеты скорости частиц ???? и ???? после столкновения будут равны по абсолютной величине и противоположны по знаку. Это тот вывод № 1, которым мы обязаны соображениям симметрии. Вывод № 2 из соображений симметрии также может быть получен при анализе столкновения в системе отсчёта ракеты. Он гласит, что в этой системе до столкновения скорости частиц ???? и ???? также были равны по абсолютной величине и противоположны по направлению. Почему? Какое противоречие ожидало бы нас, если бы эти скорости не были равными? — Да просто нарушилась бы сама симметрия, что легко усмотреть из следующего.
Рис. 54а. Сделанная в камере Вильсона фотография релятивистского и почти симметричного рассеяния, когда первоначально один электрон двигался, а другой покоился.
Начальная скорость первого электрона около β=0,97. Угол между треками разлетающихся электронов много меньше, чем предсказывавшиеся ньютоновской механикой 90°. Искривление треков электронов как заряженных частиц вызвано присутствием магнитного поля, с помощью которого определялись импульсы электронов.
Рис. 546. Фотография нерелятивистского симметричного упругого рассеяния, когда первоначально один протон двигался, а другой покоился. Начальная скорость первого протона около β=0,1. Угол между треками разлетающихся протонов равен 90° в согласии с ньютоновской механикой.
Схема скоростей в системе отсчёта ракеты после столкновения характеризуется симметрией между правым и левым направлениями. Иными словами, глядя на частицы, разлетающиеся после столкновения, невозможно сказать, из каких направлений пришли эти частицы в точку соударения. С равным успехом частица ???? могла прийти слева, а ???? — справа, или частица ???? — справа, а ???? — слева (например, наблюдатель мог обойти арену и посмотреть с другой стороны). Но ведь участвующие в столкновении частицы тождественны друг другу, и ничего не должно измениться, если их взаимно переименовать.