Страница 37 из 125
,
соответствующие тому
,
что отличие от идеальной инерциальной системы отсчёта ненаблюдаемо
ε
(
наименьшее отличие
,
доступное обнаружению при помощи данных приборов)
ε≥1⋅10⁻³
м
????
(
расстояние от центра Земли
)
Δ
????
(
расстояние по горизонтали
)
Δ
????
и
Δ
????
(
протяжённость области в двух других направлениях
)
Δ
????
(
время наблюдения
)
????≥????₀=6,4⋅10⁶
м
Δ
????=????≤25
м
При обсуждении взяты равными нулю; мы их приравняем нулю и здесь, так как в дальнейшем они не рассматриваются [часть (в)]
Δ
????≤21⋅10⁸
м
(7
сек
)
2) Более общий случай. Пробная частица ???? отстоит на расстоянии Δ???? от пробной частицы ????. Обе они находятся на одинаковом расстоянии ???? от центра притяжения и рассматриваются в течение времени Δ????. Обозначим через ???? общую величину ускорения этих частиц под действием притягивающего центра (в м/сек²), а через ????*=????/????² — величину того же ускорения, измеренную в метрах расстояния за квадратный метр времени. Показать, что ускорение частицы ???? относительно ????, (Δ????????)* (в метрах расстояния на квадратный метр времени), даётся формулой
(
Δ
????
????
)*
=-
Δ????
????
????*
.
(52)
(Считать входящие в рассмотрение углы настолько малыми, что их синусы и тангенсы можно приравнять друг другу).
б) Отличие второго рода: относительное ускорение параллельно направлению притяжения.
1) Общий случай. Пробная частица ???? отстоит на расстоянии Δ???? от пробной частицы ????, и на одной прямой с ними на расстоянии ???? находится притягивающий центр. Таким образом, частица ???? находится дальше от центра, чем ????, и на неё действует меньшая сила. Поэтому ???? отстаёт в своём падении от ????, а наблюдатель, расположенный на ????, найдёт, что на ???? действует ускорение в положительном направлении оси ????. Показать, что это относительное ускорение (выраженное в метрах расстояния за квадратный метр времени) равно
(
Δ
????
????
)*
=
+2
Δ????
????
????*
.
(53)
(Совет: воспользуйтесь тем фактом, что величина ????* убывает обратно пропорционально квадрату расстояния по закону всемирного тяготения Ньютона: ????*=const/????². Возьмите разность сил на расстояниях ???? и ????+Δ???? Воспользуйтесь чрезвычайной малостью Δ???? (каких-нибудь несколько метров) до сравнению с ???? (тысячи километров) и упростите результат).
Рис. 47. Освобождённые на одной вертикали, но на разных высотах грузы удаляются друг от друга в процессе падения. (Масштабы не выдержаны).
2) Частный случай (см. стр. 17). Пусть одна пробная частица находится на высоте 250 м над поверхностью Земли, а другая — на высоте 275 м. Насколько увеличится разность высот (25 м) этих частиц за те (приблизительно) 7 сек, пока они не упадут на Землю? [Наводящий вопрос: во сколько раз различаются численные значения для Δ???????? в (б1) и для Δ???????? в (а2)?] Дополните (или, если угодно, пересмотрите) на основании этого результата таблицу на стр. 99.
в) Случай, когда исследуемая область далека от центра Земли.
Агентство космических исследований расширяет опыты над пробными частицами и космическими лучами. Исследовательская группа приходит к заключению, что использовавшаяся в прежних исследованиях область недостаточно обширна для проведения новых программ, а время 7 сек недостаточно велико. Руководство утверждает их заявку на размеры области Δ????=200 м, Δ????=200 м, Δ????=100 м и время 100 сек с тем же допуском, что и раньше (ε=1⋅10⁻³ м =1 мм). На расстояние скольких земных радиусов от центра Земли нужно забросить с помощью ракет оборудование, чтобы отклонение системы отсчёта от идеально инерциальной было менее приемлемого нижнего предела? (Некоторые возможные попутные вопросы: как изменяется в зависимости от расстояния ???? от центра Земли величина ????*? Как зависят от ???? величины (Δ????????)* и (Δ????????)*? Как зависят Δ???? и Δ???? от (Δ????????)*, (Δ????????)* и от времени Δ?????) ▼
33*. Опыт Майкельсона — Морли 1)
1 A.A. Michelson, E.W. Morley, American Journal Of Science, 34, 333 (1887). Логическое место этого опыта в теории относительности разобрано в статье: Н. P. Robertson, Reviews of Modern Physics, 21, 378 (1949). (См. историю опыта Майкельсона— Морли в книге: Б. Джефф, Майкельсон и скорость света, ИЛ, М., 1963.— Прим. перев.)
а) Пусть самолёт движется относительно воздуха со скоростью ???? (не скорость света!) из пункта ???? в пункт ????. В направлении от ???? к ???? дует со скоростью ???? сильный ветер. Показать, что время полёта по замкнутому маршруту от ???? до ???? и обратно до ???? превышает в этом случае время такого же полёта по замкнутому маршруту в условиях безветрия в 1/[1-(????²/????²)] раз. Парадокс: Казалось бы, ветер должен был бы ускорять полёт в одну сторону и замедлять — в другую в равной мере. Почему же тогда время полёта по замкнутому маршруту различно в зависимости от того, дует ветер или нет? Дайте этому простое физическое объяснение. Что произойдёт в том случае, когда скорость ветра близка к скорости самолёта?
б) Пусть теперь тот же самолёт летит по замкнутому маршруту между ???? и ????. Расстояние между этими пунктами то же, что между ???? и ????, но направление ???????? перпендикулярно направлению ????????, так что при полёте между ???? и ???? самолёт движется поперёк ветра. Показать, что время полёта по замкнутому маршруту между ???? и ???? превышает в этом случае время такого же полёта по замкнутому маршруту в условиях безветрия в 1/[1-(????²/????²)] раз.
в) Пусть из пункта ???? одновременно с одинаковой скоростью относительно воздуха вылетают два самолёта. Один летит из ???? в ???? и назад в ???? сначала против ветра, а затем по ветру (скорость ветра равна ????). Другой самолёт летит из ???? в ???? и назад в ???? всё время поперёк ветра. Какой из них вернётся первым в ???? и чему будет равен промежуток времени между моментами их возвращения? Покажите с помощью формулы разложения бинома, что при ????≪???? этот промежуток времени можно приближённо выразить как
Δ
????
=
????
2????
????²
????²
где ???? — длина пути по замкнутому маршруту между ???? и ???? (и между ???? и ????).
г) Пусть на Южном полюсе находится Центр снабжения исследовательских станций, расположенных на окружности радиуса 300 км с центром в полюсе. Каждый понедельник множество грузовых самолётов одновременно вылетает из Центра и летит по радиусам во всех направлениях на одной и той же высоте. Каждый самолёт сбрасывает над своей станцией грузы и сразу же направляется обратно на базу. На холме, с которого удобно обозревать Центр снабжения, стоит распорядитель с секундомером в руках. Он обнаруживает, что не все самолёты возвращаются на базу одновременно. Его ставит в тупик такой разнобой, ибо по точным промерам он знает, что: 1) расстояния от базы до всех станций одинаковы, 2) каждый самолёт его эскадрильи летит относительно воздуха с одной и той же скоростью, а именно 300 км/час, и 3) путь каждого самолёта относительно поверхности Земли представляет собой прямую, соединяющую Центр со станцией (как туда, так и обратно). В конце концов наш распорядитель решает, что разброс во времени возвращения самолётов связан с ветром, дующим на той высоте, где летят самолёты. По своему секундомеру он обнаруживает, что интервал времени между моментами возвращения первого и последнего самолётов равен 4 сек. Чему равна тогда скорость, с которой дует ветер на той высоте, где летят самолёты? И что может сказать распорядитель о направлении этого ветра?