Страница 26 из 125
Δ
????
=
(1+????
????
²)⁻¹
/
²
Δ
????'
+
????
????
•
(1+????
????
²)⁻¹
/
²
Δ
????'
,
Δ
????
=-
????
????
(1+????
????
²)⁻¹
/
²
Δ
????'
+
(1+????
????
²)⁻¹
/
²
Δ
????'
,
менее сложной, если выразить относительный наклон ???????? осей ???? и ????' через обычный угол θ????? Ответ: коэффициенты в преобразовании поворота принимают вид
(1+????
????
²)⁻¹
/
²
=
(1+tg²θ
????
)⁻¹
/
²
=
=
⎛
⎜
⎝
cos²θ????+sin²θ????
cos²θ????
⎞
⎟
⎠
⁻¹/²
=
⎛
⎜
⎝
1
cos²θ????
⎞
⎟
⎠
⁻¹/²
=
cos θ
????
.
и
????
????
(1+????
????
²)⁻¹
/
²
=
tg θ
????
•
cos θ
????
=
=
sin θ????
cos θ????
=
sin θ
????
.
Поэтому формулы преобразования переходят в
Δ
????
=
Δ
????'
•
cos θ
????
+
Δ
????'
•
sin θ
????
,
Δ
????
=-
Δ
????'
•
sin θ
????
+
Δ
????'
•
cos θ
????
,
(29)
и мы можем заключить, что связь между старыми и новыми координатами приобретает наипростейший вид, если коэффициенты в ковариантных преобразованиях выразить через «тригонометрические», или «круговые», функции угла поворота.
Упрощение формул преобразования Лоренца путём введения параметра скорости
Обратимся теперь к формулам преобразования Лоренца, записанным через относительную скорость:
Δ
????
=
(1-β
????
²)⁻¹
/
²
Δ
????'
+
β
????
(1-β
????
²)⁻¹
/
²
Δ
????'
,
Δ
????
=
β
????
(1-β
????
²)⁻¹
/
²
Δ
????'
+
(1-β
????
²)⁻¹
/
²
Δ
????'
.
Как станет выглядеть эта пара уравнений, если мы выразим в ней скорость β???? через «улучшенную» характеристику движения θ????? Ответ таков. Вспомним, что скорость и параметр скорости связаны между собой соотношением
β
????
=
th θ
????
.
Отметим, что коэффициенты в формулах преобразования Лоренца зависят от β???? и тем самым от θ????. Эти коэффициенты равны
(1-β
????
²)⁻¹
/
²
=
(1-th²θ
????
)⁻¹
/
²
(30)
и
β
????
(1-β
????
²)⁻¹
/
²
=
th θ
????
•
(1-th²θ
????
)⁻¹
/
²
.
(31)
Полученные выражения на первый взгляд довольно сложны. Тем не менее они вполне определённы. Мы знаем, как найти величину th θ???? для любого заданного значения θ???? (см. рис. 31 и сопровождающие его рассуждения). Знание величины th θ???? позволяет нам вычислить выражения (30) и (31) с любой желаемой степенью точности для любого наперёд заданного значения параметра скорости. Эти две функции θ???? настолько важны, что каждая из них получила своё собственное название в теории гиперболических функций. Если мы примем стандартные названия для этих функций, то это никоим образом не повлияет на наши возможности определять величины этих функций в любом интересующем нас случае без использования каких-либо руководств или справочников, своими собственными силами. Поэтому мы примем и будем в дальнейшем употреблять следующие стандартные названия:
(1-th²θ
????
)⁻¹
/
²
=
ch θ
????
=
=
(Косинус гиперболический
θ
????
),
th θ
????
•
(1-th²θ
????
)⁻¹
/
²
=
sh θ
????
=
=
(Синус гиперболический
θ
????
),
Это названия, и не более чем названия! Используя их, мы найдём, что формулы преобразования Лоренца принимают вид
Δ
????
=
Δ
????'
•
ch θ
????
+
Δ
????'
•
sh θ
????
,
Δ
????
=
Δ
????'
•
sh θ
????
+
Δ
????'
•
ch θ
????
.
(32)
Преобразование Лоренца, выраженное через параметр скорости
Отсюда мы заключаем, что связь между старыми и новыми координатами приобретает наиболее простой вид, когда коэффициенты преобразования выражаются как гиперболические функции параметра относительного движения θ???? систем отсчёта. Более того, будучи выражены с помощью гиперболических синуса и косинуса, формулы преобразования Лоренца ещё больше, чем ранее, напоминают стандартный тригонометрический вид (29) формул преобразования поворота.
Как можно лучше уяснить себе и прочувствовать свойства фигурирующих в преобразовании Лоренца гиперболических функций? Два самых интересных и существенных их свойства вытекают непосредственно из определений (30) и (31). Во-первых, отношение
sh θ????
cs θ????
=
th θ
????
(33)
совершенно аналогично соответствующему отношению для тригонометрических функций. Во-вторых, разность квадратов двух гиперболических функций равна
ch²θ
????
-
sh²θ