Страница 23 из 125
Ответ таков: потому что углы аддитивны, а наклоны — нет. Что означает это утверждение? Взглянем на рис. 26. Вектор ???????? имеет наклон относительно оси ????'. Этот наклон можно описать величиной ????' (отношением числа единиц длины в направлении оси ????, приходящегося на единицу расстояния в направлении оси ????'). В данном случае мы имеем
????'
=
2
9
.
Вместе с тем вектор ???????? имеет наклон к оси ????, равный
????
=
7
6
,
а ось ????' в свою очередь обладает относительно оси ???? наклоном
????
????
=
3
4
.
Вопрос: выполняется ли следующий закон для наклонов:
⎛
⎜
⎜
⎝
Наклон ????????
относительно
оси ????
⎞
⎟
⎟
⎠
=
⎛
⎜
⎜
⎝
Наклон ????????
относительно
оси ????'
⎞
⎟
⎟
⎠
+
⎛
⎜
⎜
⎝
Наклон ????'
относительно
оси ????
⎞
⎟
⎟
⎠
?
Наклоны в эвклидовой геометрии не аддитивны
Проверка («экспериментальная математика»):
7
6
=
2
9
+
3
4
?
42
36
=
8
36
+
27
36
?
42
=
8
+
27
=
35
?!
Неверно!
Вывод: наклоны не аддитивны! Вопрос: раз наклоны не аддитивны, т.е. ???? не равняется сумме ????' и ????????, то как же найти правильно наклон ???? из наклонов ????' и ????????? Ответ:
(по определению наклона)
⎛
⎜
⎜
⎝
Наклон ????????
относительно
оси ????
⎞
⎟
⎟
⎠
=
????
=
Δ????
Δ????
=
[из (19)]
=
(1+????????²)⁻¹/²Δ????'+????????⋅(1+????????²)⁻¹/²Δ????'
-????????(1+????????²)⁻¹/²Δ????'+(1+????????²)⁻¹/²Δ????'
=
[сокращение числителя и
знаменателя на
(1+????
????
²)⁻¹
/
²
]
=
Δ????'+????????Δ????'
-????????Δ????'+Δ????'
=
(деление числителя и знаменателя на
Δ
????'
)
=
(Δ????'/Δ????')+????????
-????????(Δ????'/Δ????')+1
.
Окончательный вывод:
????
=
????'+????????
1-????'????????
.
(20)
Иными словами, наклоны ????' и ???????? могут считаться аддитивными, лишь если произведением ????'•???????? стоящим в знаменателе, можно пренебречь по сравнению с единицей.
Аддитивны углы наклона
Рис. 28. Угол — удобная мера наклона оси ????' относительно оси ????. Удобство здесь в том. что углы подчиняются простому правилу сложения: θ=θ'+θ????.
Так как наклоны не аддитивны, а значит, неудобны для описания относительного поворота двух систем координат, то как же выбрать лучшую характеристику этого поворота? Ответ: взять угол между осями ???? и ????'. Почему? Потому что углы подчиняются простому закону сложения (рис. 28):
⎛
⎜
⎝
Угол между
???????? и осью ????
⎞
⎟
⎠
=
⎛
⎜
⎝
Угол между
???????? и осью ????'
⎞
⎟
⎠
+
⎛
⎜
⎝
Угол между
осями ????' и ????
⎞
⎟
⎠
,
или
θ
=
θ'
+
θ
????
.
(21)
Благодаря выполнению этого соотношения угол является простейшей характеристикой наклона.
Как связаны между собой новая и старая характеристики наклона — угол θ и наклон ???????? оси ????' относительно оси ????? Ответ:
????
????
=
tg θ
????
(22)
(по тригонометрическому определению функции тангенса; см. рис. 29).
Рис. 29. Связь между взаимным наклоном ???????? осей ????' и ???? двух эвклидовых систем координат и углом θ???? между этими осями.
Закон сложения величин наклона в эвклидовой геометрии
Вопрос: как можно расшифровать закон сложения величин наклона, если исходить из того, что эти величины суть тангенсы углов? Ответ:
tg θ
=
tg (θ'+θ
????
)
=
⎛
⎜
⎝
аддитивность
углов
⎞
⎟
⎠
=
tg θ'+tg θ????
1-tg θ'•tg θ????
,
(тригонометрия)
(23)
или
????
=
????'+????????
1-????'•????????
•
⎛
⎜
⎝
тангенсы заменены
на величины наклонов
⎞
⎟
⎠
Сравнивая сложный закон сложения тангенсов (величин наклона) с простым законом сложения углов (θ=θ'+θ????), мы убеждаемся в том, что угол — простейшая характеристика поворота.
Закон сложения скоростей
Рис. 30. Мировая линия пули, изображённая на диаграмме пространства-времени системы отсчёта ракеты. Пуля была выпущена вперёд по движению ракеты со скоростью β'=Δ????'/Δ????' в системе отсчёта ракеты.
Что же будет простейшей характеристикой движения? Во всяком случае, не сама скорость, так как она не подчиняется простому закону сложения. Определим этот закон сложения скоростей. Пусть в системе отсчёта ракеты будет в направлении вперёд по её движению выстрелена пуля со скоростью β' в этой системе (рис. 30):
β'
=
Число метров,
пройденных в
направлении оси ????'
за каждый
⎛
⎜