Страница 124 из 125
/
сек
Среднее расстояние от Земли до Луны
3,84×
⎧
⎨
⎩
10⁸
м
10¹⁰
см
Масса Солнца
????
☉
=
1,989×
⎧
⎨
⎩
10³⁰
кг
10³³
г
Средний радиус Солнца
????
☉
=
6,9598×
⎧
⎨
⎩
10⁸
м
10¹⁰
см
Множители перехода
1
сек
=
2,997925×
⎧
⎨
⎩
10⁸
м
светового времени
10¹⁰
см
1
м
светового времени
=
3,335640⋅10⁻⁹
сек
1
см
светового времени
=
3,335640⋅10⁻¹¹
сек
1
год
=
3,156⋅10⁷
сек
=
9,460×
⎧
⎨
⎩
10¹⁵
м
светового времени
10¹⁷
см
1
км
=
0,6214
мили
1
электронвольт
эв
=
1,602⋅10⁻¹⁹
джоуль
=
1,602⋅10⁻¹²
эрг
Резюме главы 1. СРАВНЕНИЕ ЭВКЛИДОВЫХ ПОВОРОТОВ И ПРЕОБРАЗОВАНИИ ЛОРЕНЦА
????
Эвклидова геометрия трёхмерного пространства
????
Лоренцева геометрия четырёхмерного мира
Задача: найти связь между
????
координатами точки в исходной (нештрихованной) системе координат и координатами той же точки в штрихованной системе координат, повёрнутой относительно предыдущей
????
координатами (в том числе и временем) события в лабораторной системе отсчёта (нештрихованные координаты) и координатами того же события в системе отсчёта ракеты (штрихованные координаты)
Для упрощения исследования берётся частный случай, когда
????
начала обеих систем совпадают
поворот берётся в плоскости ????????, причём ось ????' составляет с осью ???? угол θ???? (наклон ????????=tg θ????) ????=????'
все координаты измеряются в метрах
????
начала совпадают при ????=????'=0 (опорное событие)
система отсчёта ракеты движется в положительном направлении оси ???? лабораторной системы отсчёта, причём параметр скорости равен θ???? (скорость β????=th θ????), ????=????', ????=????'
все координаты измеряются в метрах (в том числе время, измеряемое в «метрах светового времени»)
Сохраняющий одно и то жe значение в обеих системах инвариант имеет вид
????
(Длина)²=????²=????²+????²+????²
Таким образом,
????²+????²=????'²+????'²
????
(Пространственный интервал)²=σ²=-(Временноподобный интервал)²=-τ²=????²+????²+????²-????²
Таким образом,
????²-????²=????'²-????'²
При проверке выполнения последнего условия используется общее свойство
????
cos²θ+sin²θ=1
тригонометрических функций
????
ch²+sh²=1
гиперболических функций
Преобразование от штрихованных к нештрихованным координатам
????
(преобразование эвклидова поворота)
????=????'cos θ????+????'sin θ???? =
????'+????????????'
√1+????????² ; ????=-????'sin θ????+????'cos θ???? =
-????????????'+????'
√1+????????² ;
????
(преобразование Лоренца)
????=????'ch θ????+????'sh θ???? =
????'+β????????'
√1+β????² ; ????=????'sh θ????+????'ch θ???? =
β????????'+????'
√1-β????² ;
Преобразование от нештрихованных к штрихованным координатам
????
????'=???? cos θ????-???? sin θ???? =
????-????????????
√1-????????² ;
????'=???? sin θ????+???? cos θ???? =
????????????+????
√1+????????² .
????
????'=???? ch θ????+???? sh θ???? =
????-β????????
√1-β????² ;
????'=-???? sh θ????+???? ch θ???? =
-β????????+????
√1-β????² .
Фундаментальный закон сложения
????
наклонов:
если некоторая линия образует угол θ с повёрнутой осью ????', то угол θ, образуемый этой же линией с исходной осью ????, определяется выражением
θ=θ'+θ????,
или для относительных наклонов tg θ =
tg θ'+tg θ????
1-tg θ' tg θ???? , ???? =
????'+????????
1-????'????????
????
скоростей:
если пуля движется в направлении оси ???? и параметр её скорости равен θ' в штрихованной системе отсчёта ракеты, то параметр скорости пули относительно нештрихованной лабораторной системы отсчёта θ определяется выражением
θ=θ'+θ????,
или для относительных скоростей th θ =
th θ'+th θ????
1+th θ' th θ???? , β =
β'+β????
1+β'β????
Сводка формул главы 2, выраженных в единицах массы и в обычных единицах
????
Формулы, включающие ????, ????, ????, выраженные в единицах массы
????
Формулы, включающие ????обычн=????????, ????обычн=????????², ????обычн=????????², выраженные в обычных единицах
????
Номера формул
Единицы измерения
Импульс
????
килограммы, граммы или, например, жетоны для автоматов, продающих подсолнечное масло
????
кг⋅м/сек, г⋅м/сек или (например) жетон⋅вершок/сек
Энергия
????
килограммы, граммы или, например, те же жетоны
????
джоуль, Мэв, эрг или, например, фунт⋅вершок
Ньютоновские формулы (приближение малых скоростей)
????
???? = ????β , ???? =
1
2 ????β²
????
????обычн = ????β???? = ???????? ????обычн =
1
2 ????β²????² =
1
2 ????????²
????
67, 68
Релятивистские формулы
Компоненты 4-вектора энергии-импульса
????
???? ???? = ???? = ????
????????
????τ ???? ???? = ????
????????
????τ ???? ???? = ????
????????
????τ ???? ???? = ????
????????
????τ
????
????обычн = ????????²
⎛
⎜
⎝
????????
????τ
⎞
⎟
⎠ ????обычн???? = ????????
⎛
⎜
⎝
????????
????τ
⎞
⎟
⎠ ????обычн???? = ????????
⎛
⎜
⎝
????????
????τ
⎞
⎟
⎠ ????обычн???? = ????????
⎛
⎜
⎝
????????
????τ
⎞
⎟
⎠
????
77
Абсолютная величина импульса
????
???? = √(????????)²+(????????)²+(????????)² = = ????
????????
????τ = = ???? sh θ = =