Страница 104 из 125
40. Столкновения в теории Ньютона и в теории относительности
В системе отсчёта ракеты частицы после столкновения разлетаются вдоль оси ???? со скоростями ±β????. В упражнении 20 было показано [формула (49)], что ????- и ????- компоненты скоростей этих частиц в лабораторной системе отсчёта будут равны
β
????
=
th
θ
????
=
β
????
,
β
????
=
β????'
ch θ????
=±
β????
ch θ????
.
Тангенс угла ????/2, образованного осью ???? и любым из этих двух векторов скорости в лабораторной системе отсчёта (см. рис. 53), даётся формулой
tg
α
2
=
β????
β????
=
1
ch θ????
=
√
1-β
????
²
.
Рис. 147.
Требуется найти величину малого угла δ/2 (рис. 147), который составляет разность между π/4 радиан и α/2, откуда получается сам угол δ как отклонение полного угла α, образованного векторами скорости в лабораторной системе отсчёта, от прямого, т.е. от π/2=90°. Из формулы 13 в табл. 8 найдём
tg
π
-
tg
α
tg
δ
=
tg
⎛
⎜
⎝
π
-
α
⎞
⎟
⎠
=
4
2
.
2
4
2
1
+
tg
π
⋅
tg
α
4
2
Воспользовавшись полученным выше выражением для tg α/2 и приняв во внимание, что tg π/4=1, а также что для малых δ справедливо приближённое равенство tg δ/2≈δ/2, мы придём к формуле
δ
2
=
1-√1-β????²
1+√1-β????²
≈
1-(1-β????²/2)
1-(1-β????²/2)
=
β????²/2
2-β????²/2
≈
β????²
4
;
δ
=
β????²
2
,
где выражение √1-β????² было подвергнуто разложению по правилу бинома Ньютона, в котором мы оставили лишь два первых слагаемых. От нас требовалось выяснить, при каких β???? угол δ не превышает 10⁻² рад. Очевидно, это условие принимает вид
β
????
²
<
1
50
или
β
????
<
1
7
.
Когда симметричные относительно друг друга скорости сталкивающихся и разлетающихся частиц в системе отсчёта ракеты будут меньше этой величины, угол между векторами скорости разлетающихся частиц в лабораторной системе будет отличаться от прямого менее чем на 10⁻² рад. В лабораторной системе отсчёта, где одна из частиц первоначально покоилась, скорость налетающей частицы поэтому должна быть меньше, чем 2β ????<2/7. ▲
41. Примеры предельных переходов к механике Ньютона
Пример
движения
β
Корректно ли в этом примере
использование механики Ньютона
?
См. в тексте
(стр.
118
)
1/37200
Да, потому что
β<1/7
10⁻⁴
Да
1/137
Да
79/137
Нет
4/30
Да, на пределе
10
⁻²
Да
▲
42. Замедление времени для μ-мезона — подробный пример
Решение дано в тексте.
43. Замедление времени для π⁺-мезона
Если бы замедления времени не происходило, то из условий задачи следовало бы, что на расстоянии 5,4 м от мишени оставалась бы нераспавшейся половина мезонов. В упражнении 10 [см. формулу (44)] было выяснено, что множитель, характеризующий замедление времени, — это ch θ????. Следовательно, с точки зрения лабораторной системы отсчёта в рассматриваемом опыте π-мезоны будут «жить» в течение срока, в 15 раз превышающего их «собственное время жизни»— то, которое наблюдается в системе отсчёта ракеты, где они покоятся. В лаборатории те же мезоны летят с околосветовыми скоростями, и поэтому они смогут пролететь около 15 «характерных расстояний» (см. таблицу в тексте), т.е. приблизительно 80 м, прежде чем их количество в пучке вследствие распада снизится вдвое по сравнению с первоначальным. ▲
44. Аберрация света звёзд
Ориентируем ось ???? в направлении относительного движения. В покоящейся по отношению к Солнцу лабораторной системе отсчёта свет, приходящий от далёких звёзд ???? и ????, будет иметь компоненты скорости β????=±1 и β????=0. В системе отсчёта ракеты (Земли) скорость распространения этого света также равна единице, но теперь ????-компонента его скорости будет равна -β????, т.е. относительной скорости движения двух рассматриваемых систем отсчёта мимо друг друга. Синус угла φ равняется ????-компоненте скорости, разделённой на абсолютную величину скорости:
sin φ
=
β????
1
=
β
????
.
Этот вывод находится в согласии с результатами, полученными в упражнении 22. ▲
45. Опыт Физо
Закон сложения скоростей (24) даёт
β
=(
β'
+
β
????
)(
1
+
β'β
????
)⁻¹
.
При малых β???? это выражение можно разложить по формуле бинома Ньютона, ограничиваясь лишь членами первой степени по β????:
(
1
+
β'β
????
)⁻¹
≈
1
-
β'β
????
.
Используя это разложение в предыдущей формуле и вновь отбрасывая в окончательном результате члены, в которых β???? возводится в степень выше первой, получим требуемый ответ — формулу (62). ▲
46. Черенковское излучение
Формула (63) непосредственно следует из построения на рис. 62. Чтобы испускать черенковское излучение в некоторой среде, частица должна в ней двигаться по крайней мере не медленнее, чем распространяется световой импульс в этой среде. Это видно из формулы (63): косинус угла φ никак не может быть больше единицы. Поэтому в люсите частица, для того чтобы давать черенковское излучение, должна двигаться по крайней мере со скоростью, равной 2/3 скорости света в пустоте. С другой стороны, угол φ в данном веществе будет максимален, когда его косинус имеет наименьшее значение, т.е. при наибольшем значении скорости частиц β. Ясно, что β не может превышать единицу, так что в люсите величина косинуса φ, равная 2/(3β) всегда больше или равна 2/3. Соответствующий этому максимальный угол составляет 0,841 рад, или 48°,2. ▲