Страница 27 из 33
Известно, что де Мере предлагал Блезу другие вопросы связанные с “умом математическим” и менее “высоким” знанием. Кавалер, как и его друг Миттон, был большим любителем азартных игр и знакомил Паскаля с проблемами, возникавшими в различных игровых ситуациях. А между тем большинство задач, оказавших существенное влияние на зарождение и первоначальное развитие теории вероятностей, связано преимущественно с азартными играми, которые давали удобные схемы для описания вероятностных явлений. Самыми распространенными азартными играми в то время были игры в кости в виде кубов с точками (от одной до шести) на каждой грани. Подсчетом количества благоприятных шансов и неблагоприятных исходов при бросании нескольких игральных костей занимались в XVI веке известные итальянские математики Кардано, Тарталья и некоторые другие ученые.
Во времена Людовика XIII азартные игры стали подлинной общественной страстью, которая заставляла скучающих аристократов и богатеющих буржуа проигрывать целые состояния. Появлялись даже подпольные игорные дома, эти “новые публичные академии, где в подражание знати говорят лишь об игре на пистоли” и где, “кроме разорения множества семейств, совершаются бесконечные злодеяния”. Несмотря на королевские указы и большие штрафы (около десяти тысяч ливров), подобные дома продолжали процветать.
В этих домах и аристократических особняках возникали одинаковые затруднения, вызывавшие бурные споры. Среди них встречались и две задачи, предложенные Блезу кавалером де Мере.
Первая задача довольно проста, и ее решили одновременно Паскаль, Ферма, Роберваль и сам де Мере. Она заключалась в следующем: сколько раз надо бросать две игральные кости, чтобы шансы “прозвонить” (“Звоните, дьявол умер!” – вскрикивали игроки при выигрыше), то есть в данном случае выбросить сразу две шестерки, превысили вероятность обратного результата. Различные сочетания шести граней двух костей дают в общей сложности 36 цифровых комбинаций, но только одна из них может дать двойную шестерку. Следовательно, при единократном бросании имеется один шанс “умертвить дьявола” против 35. При увеличении числа бросков в два раза соответственно увеличивается количество возможных комбинаций (362) и неблагоприятных результатов (352). Вычитая число неблагоприятных исходов из числа всех возможных комбинаций, получаем число благоприятных результатов (36«– 35п). И количество бросков должно увеличиваться до тех пор, пока эта разница не превысит числа неблагоприятных результатов, что обнаруживается начиная с п – 25. Таков был результат, найденный одновременно несколькими исследователями.
Другая задача, предложенная де Мере Паскалю, гораздо сложнее. Необходимо найти справедливое распределение ставок между игроками, если игра, состоящая из ряда партий, прервана. Еще в конце XV века ее рассматривал итальянский математик Лука Пачоли, считавший, что ставки должны быть разделены пропорционально числам партий, выигранных каждым к моменту прекращения игры. Кардано справедливо возражал, что в таком случае не учитываются шансы, связанные с общим количеством партий, которые по предварительному условию необходимо было выиграть, но верного решения не дал. Блез познакомил с этой задачей Ферма и Роберваля. Последний, по словам Лейбница, не мог или не хотел понимать вероятностную проблематику и не справился с задачей, а Паскаль и Ферма нашли верный результат в своей переписке, составившей еще одну любопытную эпистолярную главу математики. 29 июля 1654 года Блез отвечает на письмо тулузца с изложением метода Ферма, переданное через Каркави (оно утеряно).
Благодаря своего корреспондента и высоко отзываясь о его методе, Блез предлагает собственный. Паскаль делит ставку пропорционально вероятности выигрыша при различных вариантах продолжения игры и фактически пользуется теоремами сложения и умножения вероятностей, а также понятием математического ожидания. Его метод, пишет Эмиль Пикар, удивительно прост: “Составляя уравнение с конечными остатками, он изобретает один из двух аналитических методов подсчета вероятностей. Другой метод, основанный на комбинаторной теории, был дан одновременно Ферма. Такая любопытная переписка между двумя великими умами делает нас свидетелями зарождения первых принципов исчисления вероятностей”.
Комбинаторный метод Ферма, который в письме к Каркави от 9 августа 1654 года выражал бесконечное восхищение талантом молодого Паскаля и считал его способным довести до успешного конца любые начинания, известен из послания Блеза знаменитому тулузцу, датированного 24 августа 1654 года. Полученный разными методами одинаковый результат заставляет Блеза в письме к Ферма высказать свое удовольствие по поводу того, что “истина одна и та же и в Париже и в Тулузе”. Хотя в процессе переписки выявились некоторые расхождения, они быстро устранились, и 27 октября 1654 года Паскаль отвечает своему корреспонденту: “Ваше последнее письмо меня полностью удовлетворило.
Я восхищаюсь вашим методом раздела ставки, тем более что вполне его понимаю; он целиком ваш, не имеет ничего общего с моим и легко приводит к той же цели. Итак, наше взаимопонимание восстановлено”.
Дальнейшее развитие новой отрасли математики связано с успехами естествознания и статистики и с именами таких известных ученых, как Бернулли, Лаплас, Пуассон, Чебышев и другие. Следует, однако, заметить, что возможности этого развития и философского углубления теории вероятностей содержались и в собственных, видимо не осуществленных планах Паскаля. Когда в конце 1654 года Блез направил “знаменитейшей Парижской математической академии наук” послание с перечислением своих работ, он указал среди них “совершенно новый трактат о случайных комбинациях, которым подчинены азартные игры”, где “колебания счастья и удачи подчиняются рассуждениям, опирающимся на справедливость и ставящим себе целью, чтобы каждый игрок неизменно получал то, что ему по праву точно причитается. Это тем в большей мере должно определяться усилиями разума, чем в меньшей мере может быть найдено из опыта. Ведь неопределенный исход явления теснее связан со случайностью, чем с законами природы. Поэтому подобные вопросы оставались нерешенными; теперь же то, что не поддавалось опыту, не может избегнуть власти разума, и мы с тем большей уверенностью подчинили их искусству математики, чтобы, овладев ими отчасти, смелее продвигаться вперед. Так математическая строгость доказательств сочетается с неопределенностью случайного и тем соединяет кажущиеся противоположности. От этой двойственности метод заимствует свое наименование, дерзко присваивая себе по праву нелепое название “математика случайного”».
Однако “нелепость” и “дерзость” “математики случайного” в значительной мере устранялись тем, что в теории вероятностей, зарождавшейся из азартных игр, случай лишался своего абсолютного значения и подлинности (внезапности, неожиданности, таинственности) и превращался в реальную возможность, функционально зависимую от ожидания исполнения заранее принятых условий. Деньги, поставленные игроками на кон, писал сам Паскаль, уже не принадлежат им; но, теряя денежную собственность, игроки “приобретают право ожидания того, что случай может им дать согласно заранее оговоренным условиям”.
Предварительные “правила игры” поддаются абстрактному комбинаторному исчислению и позволяют решать частные вероятностные задачи более общими методами. Так, у Паскаля имеется общее решение о разделении ставки между двумя игроками на основе изучения арифметического треугольника, названного впоследствии его именем.
“Трактат об арифметическом треугольнике” создан в период переписки с Ферма (издан в 1665 году) и тесно связан с обобщением возникших в ней комбинаторных проблем.
В своем трактате он излагает свойства и соотношения членов разностных рядов и биноминальных коэффициентов, описывает двадцать основных следствий, вытекающих из непосредственного рассмотрения арифметического треугольника, а в небольших приложениях к трактату разбирает возможности использования этого треугольника для изучения числовых порядков и сочетаний, для определения раздела ставок между игроками и степеней биномов.