Страница 2 из 5
Рис. 9. Фракталы
Фрактал – это объект, повторяющий сам себя в различных масштабах, которые связаны математическим способом. Фракталы формируются итерационно, многократно повторяя вычисления так, что получается объект высокой сложности с множеством мелких деталей (рис. 9).
1. Какие фигуры и объекты наиболее часто используются в математическом изобразительном искусстве?
2. Что такое многогранник?
3. Какие многогранники относятся к Платоновым телам?
4. Что такое тело Архимеда?
5. Какие многогранники называют призмами и антипризмами?
6. Какие многогранники называют телами Кеплера – Пуансо?
7. Что такое тесселяции?
8. Какие тесселяции называют правильными и полуправильными?
9. Какая фигура называется невозможной?
10. Что представляет собой лента Мебиуса?
11. Какие изображения называют анаморфными?
12. Что такое фрактал?
§ 2. Аксонометрия
Аксонометрия – метод проектирования взаимно параллельными лучами, наклонными к плоскости проекций. Термин аксонометрия представляет сочетание двух греческих слов – «ось» и «мерить». Название точно определяет процесс построения аксонометрических изображений, основанный на воспроизведении размеров проектируемого предмета по направлениям трех осей – длины, ширины и высоты.
К изображениям в аксонометрических проекциях в работах архитекторов, инженеров и художников предъявлялись различные требования, поэтому были созданы особые виды таких проекций для различных целей.
Общим для всех видов аксонометрических проекций является то, что за основу для изображения любого предмета принимают то или иное расположение осей ОХ, ОУ, OZ, по направлениям которых и отмеряют длину, ширину и высоту данного предмета.
Аксонометрические проекции принято называть изометрическими, или изометрией, если показатели искажения по всем осям равны. Если искажения равны только по двум осям, то проекции называются диметрическими, или диметрией. Аксонометрия называется триметрической, или триметрией, если все показатели искажения различны. На рис. 10 представлены виды аксонометрических проекций.
Рис. 10. Виды аксонометрии: а – изометрия; б – диметрия; в – триметрия
В каждом из этих видов проецирование может быть прямоугольным и косоугольным. Благодаря своей наглядности аксонометрия широко применяется в изданиях технической литературы и в научно-популярных книгах.
Рассмотрим виды аксонометрических проекций: изометрическую, диметрическую и горизонтальную.
При изометрическом проектировании оси расположены под равными углами друг к другу (120°) (рис. 11, а). Окружности (рис. 11, б), находящиеся в плоскостях, параллельных плоскостям проекций, выполняются эллипсами, у которых направление малой оси совпадает с направлением оси, не входящей в плоскость, а большая ей перпендикулярна. Здесь малая ось определяется как 0,71 от диаметра окружности, большая ось равна 1,22 от диаметра окружности.
Такое расположение осей получается при прямоугольном проектировании предмета в том случае, когда все три его измерения одинаково наклонены к плоскости проекций. При таком проектировании размеры предмета по всем трем осям уменьшаются в одинаковой степени и обычно их изображают без изменения.
Рис. 11. Изометрическое проектирование: а – расположение осей координат; б – расположение окружностей
Диметрия подразделяется на прямоугольную и фронтальную (косоугольную).
Для прямоугольной диметрической проекции ось OZ вертикальна, другие две оси наклонены к горизонтали: OX – под углом в 7°, а ОУ – в 41° (рис. 12). При таком проектировании получают изображение, увеличенное в 1,06 раза по сравнению с натуральным.
Фронтальная диметрическая проекция характеризуется тем, что OZ вертикальна, ОХ горизонтальна, а ОУ направляется под углом в 135° к каждой из этих двух осей (рис. 13).
При диметрическом проектировании размеры изображаемого предмета обычно делают без искажения по осям ОХ и OZ, а по оси ОУ уменьшают вдвое. Диметрические изображения более близки к перспективным, чем другие виды аксонометрии.
Рис. 12. Расположение осей координат для диметрической проекции
Рис. 13. Расположение осей координат для фронтальной проекции
Рис. 14. Оси горизонтальной изометрии
Для горизонтальной симметрии угол наклона оси ОY = 30° при сохранении прямого угла между осями ОХ и ОZ (рис. 14).
Этот вид косоугольной изометрической проекции часто используется при решении вопросов пространственной композиции жилых районов и архитектурно-планировочной организации больших территорий (архитектурных ансамблей). Коэффициенты искажения по аксонометрическим осям равны (k = m = n = 1) и являются действительными.
Обозначим через К некоторую плоскость, на которую пучком лучей проецируется объемная форма и система координат. Плоскость К называют картинной (рис. 15).
Оси Х′, Y′, Z′ получены проецированием натуральных осей координат X, Y, Z на плоскость К. Они получили название аксонометрических осей.
Рис. 15. Принцип получения аксонометрического изображения
Точка О′ – начало аксонометрических осей.
Точка А′ – аксонометрическое изображение точки А.
Точка А′1 – вторичная проекция точки А.
Если направление проецирования перпендикулярно плоскости К (φ=90°), то получают аксонометрическую проекцию пространственной формы и систему координат прямоугольной аксонометрии.
Если угол φ ≠ 90°, то получают проекции косоугольной аксонометрии.
Коэффициенты искажения по аксонометрическим осям. В зависимости от взаимного расположения осей координат плоскости картины и направления проецирования отрезки, откладываемые на осях, например координаты XА, YА, ZА точки А, проецируются на плоскость К с различным искажением (рис.15). Проекции отрезков XА′, YА′, ZА′ могут быть больше или меньше их натуральной величины XА, YА, ZА или равняться ей.
При этом будут иметь место следующие равенства:
ХА′/ХА = k – коэффициент искажения по оси Х;
YА′/YА = m – коэффициент искажения по оси Y;
ZА′/ZА = n – коэффициент искажения по оси Z.
Величины k, m, n называются действительными коэффициентами искажения координат, так как они показывают, в каком отношении искажаются длины отрезков, параллельных осям координат. Коэффициенты искажения могут быть как равными единице, так и отличными от нее.
В практике построения аксонометрических изображений часто пользуются не точными коэффициентами искажения, а другими, пропорциональными им. Эти новые коэффициенты искажения, в отличие от точных, получили название приведенных и обозначаются К, M, N.