Страница 170 из 188
Однако теория должна не только выяснить строение отдельной звезды, но и объяснить различные статистические закономерности, найденные при рассмотрении совокупности звёзд. Главными из этих закономерностей являются следующие: 1) соотношение масса — светимость и 2) соотношение спектр — светимость (которое может быть также представлено как соотношение светимость — радиус).
При решении указанной основной задачи приходится, разумеется, пользоваться сведениями из теоретической физики. Как уже сказано, эти сведения могут оказаться недостаточными. Однако само изучение звёздных недр может приводить к расширению таких сведений. В качестве примера укажем на то, что поиски источников звёздной энергии способствовали открытию ядерных реакций, связанных с выделением больших количеств энергии. Несомненно, что подобные открытия будут происходить и в дальнейшем.
Теория внутреннего строения звёзд в своём развитии прошла ряд этапов. Первоначально в теории рассматривалось лишь механическое равновесие звезды под действием двух сил: тяготения и газового давления. При этом считалось, что давление пропорционально некоторой степени плотности. Эта теория нашла своё завершение в книге Эмдена [1]. В дальнейшем в уравнение механического равновесия было введено давление излучения и стало рассматриваться энергетическое равновесие звезды. Большое значение на этом этапе имели исследования Эддингтона [2]. Однако фундаментальный вопрос теории — вопрос об источниках звёздной энергии — долгое время оставался нерешённым. Лишь в сороковых годах было установлено, что основным источником звёздной энергии являются ядерные реакции, преобразующие водород в гелий. Это открытие послужило началом современного этапа теории.
На данном этапе разработка теории внутреннего строения звёзд теснейшим образом связывается с решением проблемы звёздной эволюции. Такая связь является совершенно естественной, поскольку структура звезды зависит от химического состава, а он меняется в ходе ядерных реакций.
В настоящей главе теория внутреннего строения звёзд излагается в порядке её развития. При этом первоначальные этапы теории рассматриваются весьма кратко, так как лишь очень немногие из полученных тогда результатов сохранили своё значение до нашего времени.
§ 35. Уравнения равновесия звезды
1. Уравнение механического равновесия.
Будем считать, что звезда обладает сферической симметрией и находится в равновесии под действием силы притяжения и силы газового давления. Пусть ???? — давление и ρ — плотность внутри звезды. Эти величины зависят от расстояния ???? от центра звезды.
Уравнение равновесия под действием указанных сил (т.е. уравнение гидростатического равновесия) имеет вид
????????
=-
????ρ
????????
,
(35.1)
где ???? — ускорение силы тяжести в данном месте звезды. Как известно, в случае сферической симметрии величина ???? определяется формулой
????
=
????
????????
????²
,
(35.2)
где ???? — постоянная тяготения и ???????? — масса, заключённая внутри сферы радиуса ????, т.е.
????
????
=
4π
????
∫
0
ρ????²
????????
.
(35.3)
Подставляя (35.2) в (35.1), получаем
????????
????????
=-
????
????????
????²
ρ
.
(35.4)
Вводя сюда выражение для ???????? приходим к уравнению механического равновесия в виде
1
????²
????
????????
⎛
⎜
⎝
????²
ρ
????????
????????
⎞
⎟
⎠
=-
4π
????ρ
.
(35.5)
Уравнение (35.5) является одним из основных уравнений теории внутреннего строения звёзд.
В уравнение (35.5) входят две неизвестные величины: давление ???? и плотность ρ. Как уже говорилось, на первом этапе развития теории принималось, что эти величины связаны между собой зависимостью
????
=
????
ρ
????
,
(35.6)
где ???? и ???? — постоянные. Такая зависимость между ???? и ρ называется политропной. Таким образом, звёзды первоначально рассматривались как политропные газовые шары.
При помощи (35.6) находим
1
ρ
????????
????????
=
????????
????-1
????ρ????-1
????????
.
(35.7)
Подставляя (35.7) в (35.5) и используя обозначение
ρ
????-1
=
????
,
(35.8)
получаем
????(1+????)
1
????²
????
????????
⎛
⎜
⎝
????²
????????
????????
⎞
⎟
⎠
=-
4π
????????
????
,
(35.9)
где ????=1/(????-1). Величина ???? называется политропным индексом.
Уравнение (35.9), в которое входит одна неизвестная функция ????(????), можно несколько упростить путём введения новых безразмерных переменных. Именно, положим
????
=
????₀????
,
????
=
λ????
(35.10)
и будем считать, что ????₀ есть значение ???? в центре звезды (при ????=0). Что же касается величины λ, то подберём её так, чтобы при подстановке (35.10) в (35.9) сократились все постоянные. Тогда для определения λ получаем соотношение
????(1+????)
λ²
=
4π
????????₀
????-1
,
(35.11)
а уравнение (35.9) принимает вид
1
????²
????
????????
⎛
⎜
⎝
????²
????????
????????
⎞
⎟
⎠
=-
????
????
.
(35.12)
Очевидно, что функция ????(????) должна удовлетворять следующим двум условиям в центре звезды:
????=1,
????'=0,
при
????=0.
(35.13)
Уравнение (35.12), называемое уравнением Эмдена, играло очень большую роль на первом этапе изучения строения звёзд. Исследованию этого уравнения было посвящено много работ. Однако решения уравнения Эмдена в явном виде удалось получить только для трёх значений политропного индекса (????=0, 1, 5). Эти решения при граничных условиях (35.13) имеют вид
????
=
1
-
????²
6
при
????=0,
(35.14)
????
=
sin ????
????