Страница 8 из 12
Как известно, задачей регрессионного анализа является расчет формулы, описывающей связь между зависимой переменной Y (ее называют также результативным признаком) и независимыми (их называют также факторными) переменными X1, X2, … , Xn. При этом формула связи результативного признака Y с факторами X1, X2, … , Xn, либо с одним фактором X, получила название уравнения регрессии.
В качестве метода аппроксимации (приближения) в уравнении регрессии используется метод наименьших квадратов, который минимизирует сумму квадратов отклонений фактических значений Y от его предсказываемых значений, рассчитанных по определенной математической формуле. При этом линию, которая лучше всего подойдет к этим данным, выбирают так, чтобы сумма квадратов значений вертикальных отклонений зависимой переменной (фактического курса доллара) от линии, рассчитанной по уравнению регрессии (предсказанный курс доллара), была минимальной.
Подробнее о том, как решить уравнение регрессии, можно прочитать в моей книге «Как предсказать курс доллара. Эффективные методы прогнозирования с использованием Excel и EViews» -см. главу 2. «Метод наименьших квадратов и решение уравнения регрессии в Excel», а также в другой моей книге «Как предсказать курс доллара. Расчеты в Excel для снижения риска проигрыша» – см. главу 2. «Как в Excel решить однофакторное уравнение регрессии для линейного тренда».
Решение уравнения регрессии с одной зависимой переменной Долл.США_Руб и четырьмя независимыми переменными, обозначающими воздействие на эту валюту четырех фундаментальных факторов, в R примет следующий вид:
> Уравн1<-lm(Долл.США_Руб~Евро_Долл.США+Евро_Руб+Нефть+Золото)
# решаем уравнение регрессии
#сокращение lm означает уравнение, решаемое методом наименьших квадратов
# символ ~ отделяет зависимую переменную Долл.США_Руб от независимых переменных
# между зависимыми переменными ставится знак +.
> summary(Уравн1)
# summary означет краткий вывод, итоги решения уравнения
В результате получаем табл. 1 с выводом данных по итогам решения этого уравнения регрессии.
Табл. 1. Вывод данных по итогам решения уравнения регрессии
Call:
lm(formula = Долл.США_Руб ~ Евро_Долл.США + Евро_Руб + Нефть + Золото)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
–3.745 -0.580 -0.061 0.385 6.123
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 26.6701534 0.1319762 202.08 <0.0000000000000002 ***
Евро_Долл.США -22.5209932 0.1194950 -188.47 <0.0000000000000002 ***
Евро_Руб 0.8717064 0.0010245 850.84 <0.0000000000000002 ***
Нефть -0.0168154 0.0008252 -20.38 <0.0000000000000002 ***
Золото 0.0001949 0.0000611 3.19 0.0014 **
–
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Residual standard error: 1 on 5826 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.996, Adjusted R-squared: 0.996
F-statistic: 3.83e+05 on 4 and 5826 DF, p-value: <0.0000000000000002
Источник: расчеты автора
Проверим решение уравнения 1 на статистическую значимость. Судя по табл. 1, F-statistic у данного уравнения регрессии имеет p -value: <0.0000000000000002, то есть уровень его надежности более 99% = ((1-0.0000000000000002)*100). Таким образом можно сделать вывод, что в целом мы получили статистически значимое уравнение регрессии. Также близки к нулю p -value и у константы этого уравнения регрессии (Intercept) и у коэффициентов переменных Евро_Долл.США, Евро_Руб, Нефть и Золото, следовательно, из этого можно сделать вывод, что они также статистически значимы с 99% уровнем надежности.
Случайный (стохастический) процесс Х называют стационарным в сильном смысле, если совместное распределение вероятностей всех его лаговых переменных Х1, Х2, …, Хn, точно такое же, как и для переменных Х1+t, Х2+t, …, Хn+t. Заметим, что стационарных процессов в сильном смысле на финансовых рынках практически нет, а вот стационарные процессы в более широком слабом смысле активно используются для прогнозирования динамики финансовых активов. Под стационарным процессом в слабом смысле понимается случайный процесс, в котором его среднее значение и дисперсия (разброс, отклонения от средней) не зависят от рассматриваемого времени, а автоковариация (корреляционная связь) зависит только от длины лага между лаговыми переменными.
Далее проверим все переменные (временные ряды), включенные в уравнение 1 на стационарность. С этой целью будем использовать расширенный тест Дикки-Фуллера. Как известно, временной ряд считается стационарным в слабом смысле, если построенное на основе его уравнение первого порядка имеет коэффициент регрессии ρ <1. Например, уравнение Хt= 0.975*Хt-1 +С, – свидетельствует о том, что временной ряд Хt с константой С и коэффициентом ρ = 0.975 < 1 является стационарным в слабом смысле. Поэтому в этом временном ряде иногда может возникать сильная волатильность, но в случае стационарности в широком смысле она постепенно затухает. Соответственно, если бы коэффициент ρ был бы больше 1, то тогда этот временной ряд считался бы нестационарным, а, следовательно, волатильность в этом ряде не имела бы тенденции с течением времени не затухать.
Подробнее о стационарности временных рядов можно прочитать в моей книги «Как предсказать курс доллара. Эффективные методы прогнозирования с использованием Excel Задание и EViews» – см. главу 1 «Понятие о стационарном и нестационарном временном ряде, выявление нестационарности ряда графическим способом».
Проверка авторегрессионного процесса на стационарность проводится следующим образом. Согласно нулевой гипотезе, предполагается, что если ρ=1, то временной ряд считается нестационарным, а в случае ее опровержения принимается альтернативная гипотеза, утверждающая, что ρ <1, а, следовательно, ряд стационарный. В ходе решения обычного уравнения регрессии рассчитывается t– статистика для коэффициента регрессии ρ, совпадающая с расчетными значениями статистики Дикки-Фуллера, которая потом сравнивается с критическими значениями статистики Дикки-Фуллера (обычно в книгах они даются в специальных таблицах, но в R мы их получаем в готовом виде).
Поскольку проверка гипотезы проводится по одностороннему критерию, то в этом случае, если расчетное значение t-статистики для коэффициента регрессии ρ будет ниже критического значения статистики расширенного теста Дикки-Фуллера (с поправкой на число наблюдений), то в этом случае нулевая гипотеза о том, что ρ =1 отклоняется и принимается альтернативная гипотеза о том, что ρ < 1, а, следовательно, тестируемый временной ряд можно считать стационарным. Для того, чтобы провести расширенный тест Дикки-Фуллера загружаем для текущей работы пакет urca. Если его еще нет на Вашем компьютере, то воспользуйтесь командой install.packages(‘urca’), а затем введите следующий код:
> library(urca)
> Долл.США_Руб.адф <– ur.df(Долл.США_Руб, type = "drift")
# проводим расширенный тест Дикки-Фуллера
# опция теста type = "drift" означает константу
> summary(Долл.США_Руб.адф)
# вывод итогов теста
В результате получаем табл. 2 с выводом данных по итогам выполнения теста расширенного теста Дикки-Фуллера.
Табл. 2. Вывод данных по итогам выполнения теста расширенного теста Дикки-Фуллера
###############################################
# Augmented Dickey-Fuller Test Unit Root Test #
###############################################
Test regression drift
Call:
lm(formula = z.diff ~ z.lag.1 + 1 + z.diff.lag)