Страница 9 из 9
Современные математики знают, что эти элементы имеют предел: последовательность чисел 1, 1/2 , 1/4 , 1/8 , 1/16 и так далее приближается к нолю как к своему пределу, и путешествие имеет пункт назначения. Как только это признано, легко поинтересоваться, как далеко отстоит пункт назначения и сколько времени потребуется, чтобы до него добраться. Не так уж трудно сложить расстояния, которые пробегает Ахиллес: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 +…+ 1/2n +… Шаги, которые делает Ахиллес, становятся все меньше и меньше, все ближе и ближе к нолю, а сумма этих шагов оказывается все ближе и ближе к двум. Откуда мы это знаем? Что ж, начнем с двух и будем вычитать по одному элементы суммы. Начнем с 2 — 1, что дает, конечно, 1. Затем вычтем 1/2 ; останется 1/2 . Затем вычтем следующий элемент — 1/4 ; останется 1/4 … Мы вернулись к знакомой последовательности. Мы уже знаем, что ее предел — ноль; таким образом, по мере того, как мы вычитаем один за другим элементы из двух, не остается ничего. Предел суммы 1 + 1/2+ 1/4 + 1/8 + 1/16 +… равен 2 (рис. 11 ). Ахиллес пробежит 2 фута, чтобы догнать черепаху, хоть и сделает для этого бесконечное число шагов. Более того, посмотрим, сколько времени потребуется Ахиллесу, чтобы догнать черепаху: 1 + 1/2 + 1/4 +1/8 + 1/16 +… — 2 секунды. Ахиллес не только совершает бесконечное число шагов, чтобы пробежать конечное расстояние, но и тратит на это всего 2 секунды.
Греки не могли проделать этот ловкий математический трюк. У них не было понятия предела, потому что они не верили в ноль. Элементы бесконечной последовательности не имели предела, или пункта назначения; считалось, что они делаются меньше и меньше без какого-то определенного конца. В результате греки не могли справиться с бесконечностью. Они размышляли над концепцией пустоты, но отвергали ноль как число; они заигрывали с понятием бесконечности, но отказывались признать существование чисел, которые бесконечно малы или бесконечно велики. Это было величайшим недочетом греческой математики, и это было единственным, что помешало им открыть дифференциальное и интегральное исчисление.
Рис. 11. 1 + 1/2 + 1/4+ 1/8 + 1/16 +… = 2
Бесконечность, ноль и концепция предела связаны друг с другом. Греческие философы были не в силах распутать этот узел, поэтому не имели способа разрешить загадку Зенона. Однако парадокс Зенона был настолько важен, что греки снова и снова пытались объяснить содержащуюся в нем бесконечность. Они были обречены на неудачу, не имея нужных концепций.
Зенон сам не знал разрешения своего парадокса, да и не искал его. Парадокс полностью удовлетворял его философии. Зенон был членом элеатской школы, основатель которой, Парменид, утверждал, что подлинная Вселенная неизменна и неподвижна. Парадоксы Зенона служили подтверждением доводов Парменида. Показывая, что изменение и движение внутренне противоречивы, он рассчитывал убедить людей в том, что позади каждой изменяющейся вещи стоит нечто целостное и неизменное. Зенон и в самом деле верил в невозможность движения, и его парадокс был главной опорой этой теории.
Существовали и другие направления мысли. Атомисты, например, верили в то, что Вселенная состоит из маленьких частиц, именуемых атомами, неделимых и вечных. Движение, согласно взглядам атомистов, было движением этих маленьких частиц. Конечно, чтобы атомы могли двигаться, должно было существовать пустое пространство, куда они могли бы переместиться. В конце концов, крошечные атомы должны были как-то двигаться: не будь такой вещи, как вакуум, атомы оказались бы неизменно спрессованы друг с другом. Все замерло бы в одном положении навсегда, неспособное сдвинуться с места. Таким образом, атомистическая теория требовала, чтобы Вселенная была полна пустоты — бесконечной пустоты. Атомисты признавали концепцию бесконечного вакуума — бесконечность и ноль оказывались связаны воедино. Это было шокирующее заключение, однако неделимые частицы материи, провозглашенные атомистической теорией, позволяли обойти парадоксы Зенона. Поскольку атомы неделимы, существует точка, дальше которой деление невозможно. Уменьшение шагов, предполагавшееся Зеноном, не могло продолжаться до бесконечности. Через какое-то время Ахиллес стал бы делать шаги, которые уже не могли уменьшиться; в конце концов они достигли бы величины атома, преодолеть часть которой черепаха не может. Ахиллес наконец догнал бы неуловимую черепаху.
С атомистической теорией конкурировало другое философское учение. Вместо использования таких странных концепций, как бесконечный вакуум, оно изображало Вселенную в виде уютной ограниченности. Никакой бесконечности, никакой пустоты — только прекрасные сферы, окружающие Землю, которая, естественно, находится в центре Вселенной. Такова была система Аристотеля, впоследствии усовершенствованная александрийским астрономом Птолемеем. Она сделалась доминирующей философией западного мира. Отвергнув ноль и бесконечность, Аристотель объяснил парадоксы Зенона.
Он просто заявил, что математики «не нуждаются в бесконечности и не используют ее». Хотя «потенциальная» бесконечность могла бы существовать в уме — как концепция деления отрезка прямой на бесконечное число кусочков — никто в действительности не способен это сделать, так что на самом деле бесконечности не существует. Ахиллес без труда пробегает мимо черепахи, потому что бесконечные элементы — просто плод воображения Зенона, а не явление реального мира. Аристотель просто пожелал, чтобы бесконечности не существовало, заявив, что она — создание человеческого ума.
Из этой концепции следовало поразительное открытие. Согласно с представлением о пифагорейской вселенной, аристотелевский космос (и его позднейшее усовершенствование Птолемеем) состоял из хрустальных сфер, в которых двигались планеты. Однако, поскольку бесконечность была отвергнута, таких сфер не могло быть бесконечное число; обязательно должна была существовать последняя. Эта самая дальняя сфера представляла собой синий шар, испещренный крошечными сияющими точками — звездами. Не могло быть ничего «за пределами» внешней сферы; Вселенная резко заканчивалась с этим последним слоем. Она удобно покоилась внутри сферы неподвижных звезд; космос был конечен в своей протяженности и полностью заполнен материей. Не существовало ничего бесконечного, не существовало пустоты; не существовало бесконечности, не существовало ноля.
Эти рассуждения имели и другое следствие; как раз по этой причине аристотелевская философия продержалась так много лет. Теория Аристотеля доказывала существование Бога.
Небесные сферы медленно вращались на своих местах, рождая заполняющую космос музыку. Однако что-то должно было быть причиной этого движения. Неподвижная Земля не может быть источником движущей силы, так что ближайшая к ней сфера должна приводиться в движение следующей сферой; эта сфера, в свою очередь, — своим более крупным соседом и так далее. Однако бесконечности ведь не существует; число сфер конечно, конечно и число вещей, которые движут друг друга. Должна существовать первопричина движения, что-то должно двигать сферу неподвижных звезд. Это — первичная сила — Бог. Когда христианство распространилось на Западе, оно оказалось тесно связанным с аристотелевским взглядом на Вселенную и с доказательством существования Бога. Атомизм влек за собой атеизм. В некотором смысле сомнение в доктрине Аристотеля приравнивалось к сомнению в существовании Бога.
Система Аристотеля пользовалась огромным успехом. Его самый знаменитый ученик, Александр Македонский, успел распространить ее на восток до Индии до своей безвременной смерти в 323 году до н. э. Система Аристотеля пережила империю Александра, она просуществовала до времен королевы Елизаветы I, до XVI века. Вместе со столь долгим признанием учения Аристотеля имело место и отрицание бесконечности и пустоты, поскольку одно требовало другого: из признания пустоты следовало признание бесконечности. В конце концов, существуют всего две логические возможности объяснения пустоты, и обе предполагают существование бесконечности. Во-первых, пустоты могло бы быть сколь угодно много — значит, бесконечность существует. Во-вторых, пустоты могло бы быть ограниченное количество, однако поскольку пустота — просто отсутствие материи, должно было существовать бесконечное количество материи, чтобы обеспечить лишь ограниченное количество пустоты, — следовательно, бесконечность существует. В обоих случаях существование пустоты предполагает существование бесконечности. Пустота и ноль разрушают аккуратные рассуждения Аристотеля и его опровержение Зенона, его доказательство существования Бога. Поэтому, признав аргументы Аристотеля, греки были вынуждены отвергнуть ноль, пустоту и бесконечность.
Конец ознакомительного фрагмента. Полная версия книги есть на сайте ЛитРес.