Страница 1 из 10
Предисловие
Самой древней математической деятельностью был счет. Счет был необходим, чтобы следить за поголовьем скота и вести торговлю. Первыми существенными успехами, заложившими фундамент арифметики, стали определение понятия числа, отделение его от конкретных объектов счета и изобретение четырех основных действий с числами: сложения, вычитания, умножения и деления. Развитие математики началось благодаря вавилонянам и египтянам. Источником наших знаний о вавилонской цивилизации служат хорошо сохранившиеся глиняные таблички, покрытые так называемыми клинописными текстами, которые датируются от 2000 года до н.э. и до 300 года н.э. Математика на клинописных табличках в основном была связана с ведением хозяйства. Наше знание древнеегипетской математики основано главным образом на двух папирусах, датируемых примерно 1700 годом до нашей эры. Излагаемые в этих папирусах математические сведения восходят к еще более раннему периоду – около 3500 до нашей эры. Египтяне использовали математику, чтобы вычислять вес тел, площади посевов, объемы зернохранилищ, размеры податей и количество камней, требуемое для возведения тех или иных сооружений. Затем эстафетную палочку подхватили древние греки. С точки зрения современности родоначальниками математики как науки явились греки классического периода (6–4 вв. до н.э.). Математика, существовавшая в более ранний период, была набором эмпирических заключений. Первой книгой, в которой арифметика излагалась независимо от геометрии, было «Введение в арифметику» греческого математика и философа Никомаха Герасского (первая половина II века нашей эры). В истории арифметики ее роль сравнима с ролью «Начал» Евклида в истории геометрии. На протяжении более 1000 лет она служила стандартным учебником, поскольку в ней ясно, четко и всеобъемлюще излагалось учение о целых числах (простых, составных, взаимно простых).
Наша современная система счисления, основанная на позиционном принципе записи чисел и использовании нуля для обозначения пустого разряда, называется индо-арабской. На стене храма, построенного в Индии около 250 года до н.э., обнаружено несколько цифр, напоминающих по своим очертаниям наши современные цифры. Около 800 года н.э. индийская математика достигла Багдада. Термин «алгебра» происходит от начала названия книги Аль-джебр ва-л-мукабала (Восполнение и противопоставление), написанной в 830 году астрономом и математиком аль-Хорезми.
Около 1100 года в западноевропейской математике начался почти трехвековой период освоения сохраненного арабами и византийскими греками наследия Древнего мира и Востока. Поскольку арабы владели почти всеми трудами древних греков, Европа получила обширную математическую литературу. Перевод этих трудов на латынь способствовал подъему математических исследований. Все великие ученые того времени признавали, что черпали вдохновение в трудах греков. Заканчивая этот краткий экскурс в историю, можно сказать, что нашим знаниям о натуральных числах уже 5 тысяч лет! В дальнейшем математика развивалась как вширь – появлялись новые разделы и области математики, так и вглубь, например, постоянно расширялось понятие числа.
Несколько слов хочется сказать о вкладе нашей страны в развитие математики. На первый, поверхностный взгляд может показаться, что все в науке сделано древними египтянами, греками, потом учеными Западной Европы. Действительно, Россия стала цивилизованной страной, когда элементарная математика уже была создана, поэтому в школьных учебниках мы встречаем теорему Пифагора, формулу Герона, доказательство Гаусса, но нет элементарных вещей созданных Ивановым, Петровым и Сидоровым. Для того чтобы добраться до дифференциальных уравнений математической физики, теорем о распределении простых чисел, сложных законов теории вероятностей, неевклидовой геометрии и услышать фамилии Чебышева, Остроградского, Ковалевской, Лобачевского и десятков других наших соотечественников нужно подняться на вершины высшей математики. Естественно, это удается не каждому, поэтому фамилии наших математиков известны специалистам, а не широкому кругу читателей. Наша страна была первой в космосе. За этой таинственной работой тысяч людей тоже скрыты сложные дифференциальные уравнения и математические расчеты, о которых мы не узнаем, да и не сможем понять. Отечественная космонавтика сложнее и гораздо полезнее в практическом плане, чем древнеегипетские пирамиды.
Теперь о содержании раскрытой вами книги. Итак, тысячи лет ученые занимались натуральными числами, казалось все о них известно и больше делать здесь нечего. Но оказывается это неверно. В 1866 году шестнадцатилетний школьник находит среди чисел парочку «самородков», которые пропустили величайшие умы, такие как Ферма, Декарт и Эйлер. Ближе к нам по времени, всего-навсего в прошлом веке, простой школьный учитель из Индии, увлекшись изучением чисел, открывает в них столько нового, что хватило бы на десяток академиков. Это говорит о том, что среди натуральных чисел еще скрываются числа, обладающие некими уникальными свойствами, которые никто еще пока не открыл. Кроме того, велико число сформулированных, но нерешенных проблем, связанных с натуральными числами. Причем характерной чертой таких проблем является то, что понимание их формулировок доступно школьнику, а доказательства не могут найти столетиями. Современная вычислительная техника помогает перебрать и проверить свойства огромного количества натуральных чисел, но компьютеры бессильны перед бесконечностью и не способны доказать всеобщность некоторых утверждений. Вот об этом и будет дальнейшее повествование. Кроме того вы сможете проверить свои способности к теории чисел, решая специально подобранные задачи.
Этюд о единице, породившей бесконечность
Этюд – небольшое исследование, посвященное какому-либо вопросу, изучению узкой темы.
Математика школьная – это учебный предмет, имеющий множество разветвлений. В расписании начальной школы стоит предмет «математика», которая представляет собой арифметику, с вкраплениями геометрических сведений. В средней школе она перерастает в два предмета: алгебру и геометрию, на стыке геометрии и алгебры появляется раздел тригонометрия. Геометрия из планиметрии переходит в стереометрию, а алгебра подступает к началам математического анализа. Попутно бегло просматриваются комбинаторика и теория вероятностей. В каждом из этих разделов изучается некая основа, необходимый минимум и программа идет дальше, чтобы в следующем разделе изучить тоже только самое необходимое. В результате, коснувшись в арифметике теории чисел, дальше необходимости научить детей выполнению четырех математических действий с числами мы не идем. В эпоху компьютеров, когда калькулятор есть в каждом смартфоне, необходимость этих практических навыков энтузиазма не вызывает, тем более не вызывает интереса. Остается простое требование: «надо, Федя, надо!» То, что может увлечь математикой, заинтересовать, не изучается, а остаются простые примеры на выполнение действий с числами. Именно примеры, не требующие ничего кроме механического соблюдения правил, а не задачи, в которых есть вопросы, заставляющие думать. Тем более не остается времени на рассказы из истории математики, показывающие развитие человеческой мысли.
Когда то в институте, в качестве учебника, мы пользовались книгой «Теория чисел» Александра Адольфовича Бухштаба. Особое впечатление на меня произвело начало книги, где приводился Краткий исторический очерк развития теории чисел и ее последняя глава, в которой перечислялись нерешенные проблемы аддитивной теории чисел, начиная с проблемы Гольдбаха, проблемы простых чисел-близнецов, и далее прямо по пунктам были сформулированы 18 недоказанных на то время утверждений. В этих гипотезах нет каких-то специальных терминов, сложных формулировок. Они просты для понимания, но оказались сложны для доказательства. Прошло полвека с момента моей учебы в институте, появились мощные компьютеры, а в тех проблемах из книги Бухштаба мало что сдвинулось. Проверить выполнение какой-либо гипотезы до немыслимо больших чисел, затратив многие часы компьютерного времени, пожалуйста, а доказать, что это верно для всех чисел вообще – с этим проблемы. Вот что вызывает истинный интерес: вроде бы все просто, понятно, а попробуй, докажи или опровергни!